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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.5 - Ex. 15

Nos Exercícios 1-18, determine d y // d x .

15. y = x^2 sen x + 2 x cos x - 2 sen x

Passo 1

(d y)/(d x) = (d)/(d x) (x^2 sen x + 2 x cos x - 2 sen x)

Vamos usar a regra da soma:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) (x^2 sen x) + (d)/(d x) (2 x cos x) + (d)/(d x) ( - 2 sen x )

Agora vamo precisar da regra do produto:

(d)/(d x) (u * v) = v (d u)/(d x) + u (d v)/(d x)

Primeira derivada da soma: u = x^2 e v = se n x :

(d)/(d x) (x^2 sen x)

( sen x ) (d)/(d x) (x^2) + ( x^2 ) (d)/(d x) ( sen x )

Derivada do ( sen x ) é ( cos x ) :

( sen x ) (2 x) + ( x^2 ) ( co s x )

A segunda derivada daquela soma:

(d)/(d x) (2 x cos x)

(cos x) (d)/(d x) (2 x) + (2 x) (d)/(d x) ( cos x )

Derivada do ( cos x ) é ( - sen x ) :

(cos x) (2) + (2 x) ( - s en x )

A derivada do terceiro termo da soma é mais tranquila:

(d)/(d x) ( - 2 sen x )

- 2 cos x

Passo 2

Juntando novamente na equação essas derivadas ai:

(d y)/(d x) = ( 2 x sen x + x^2 cos x ) + 2 [cos x ( 1 ) + x ( - sen x )] - 2 cos x

(d y)/(d x) = 2 x sen x + x^2 cos x + 2 cos x - 2 x sen x - 2 cos x

(d y)/(d x) = x^2 cos x

Resposta

(d y)/(d x) = x^2 cos x

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