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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.9 - Ex. 7

Seja y = (- 2)/(x^2 + k) , k constante. Verifique que (d y)/(d x) - x y^2 = 0 .

Passo 1

Primeiramente, vamos calcular a derivada (d y)/(d x) , lembrando que k é constante:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) ((- 2)/(x^2 + k))

(d y)/(d x) = - 2 (d)/(d x) ((1)/(x^2 + k))

Podemos usar a regra de derivação do inverso (ou regra do quociente para numerador constante):

(d y)/(d x) = - 2 [(- (d)/(d x) (x^2 + k))/((x^2 + k)^2)]

(d y)/(d x) = - 2 [(- 2 x)/((x^2 + k)^2)]

(d y)/(d x) = (4 x)/((x^2 + k)^2)

Passo 2

Agora, vamos substituir essa derivada no lado esquerdo da equação que queremos verificar, a fim de obter 0 :

(d y)/(d x) - x y^2 = (4 x)/((x^2 + k)^2) - x y^2

E também substituir y = (- 2)/(x^2 + k) :

= (4 x)/((x^2 + k)^2) - x ((- 2)/(x^2 + k))^2

= (4 x)/((x^2 + k)^2) - (4 x)/((x^2 + k)^2)

= 0

Logo, y = (- 2)/(x^2 + k) satisfaz a equação dada.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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