Derive a função y = ln ⁡ ( e - x + x e - x )

Enunciado

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada de primeira ordem da função

em relação a .

Para isso, veja que é composta por uma função que possui em seu argumento outra função.

Dessa forma, como se trata de uma função composta, deveremos utilizar a regra da cadeia na sua derivação:

Então, vamos fazer a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro.

Observe que nesse caso, temos um produto na função de dentro, . Então, também devemos aplicar a regra do produto na derivação:

Vamos lá!

Primeiro iremos simplificar a função:

Colocando em evidência:

Agora que temos um produto dentro do , podemos usar a propriedade do produto para logaritmos. Sendo:

E usando essa propriedade de logaritmo, podemos escrever:

Outra propriedade do logaritmo que podemos usar é a do expoente. Sendo:

Então o primeiro termo se torna:

Como , temos:

E ficamos com:

Prontinho. Agora vamos pensar nessa função mais simplificada para fazer a derivação.

Agora usando a fórmula da derivada e aplicando a regra da cadeia na derivação, vamos ter:

E derivando, temos:

Tirando o MMC pra deixar todo mundo no mesmo denominador:

E simplificando, temos:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉