Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.6 - Ex. 19
Derive a função
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada de primeira ordem da função
em relação a .
Para isso, veja que é composta por uma função que possui em seu argumento outra função.
Dessa forma, como se trata de uma função composta, deveremos utilizar a regra da cadeia na sua derivação:
Então, vamos fazer a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro.
Observe que nesse caso, temos um produto na função de dentro, . Então, também devemos aplicar a regra do produto na derivação:
Vamos lá!
Passo 2
Primeiro iremos simplificar a função:
Colocando em evidência:
Agora que temos um produto dentro do , podemos usar a propriedade do produto para logaritmos. Sendo:
E usando essa propriedade de logaritmo, podemos escrever:
Outra propriedade do logaritmo que podemos usar é a do expoente. Sendo:
Então o primeiro termo se torna:
Como , temos:
E ficamos com:
Prontinho. Agora vamos pensar nessa função mais simplificada para fazer a derivação.
Passo 3
Agora usando a fórmula da derivada e aplicando a regra da cadeia na derivação, vamos ter:
E derivando, temos:
Tirando o MMC pra deixar todo mundo no mesmo denominador:
E simplificando, temos:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉