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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 46

Nos Exercícios 23-50, determine as derivadas das funções.

46. r = s e c θ . t g ( 1 θ )

Passo 1

Então galera, de início notamos que se trata de um produto entre duas funções, não é mesmo? Sabendo disso, podemos pensar na regra do produto como um dos melhores métodos para resolver essa derivada. Lembrando que a regra do produto nos diz que:

r = g ( θ ) . h ( θ )

∴ r ' = g θ ' . h θ + g θ . ( h θ ) '

Escrevendo quem seria g e quem seria h , depois que encontrarmos suas derivadas, o resultado seria só substituir na regra comentada.

g θ = s e c θ  

h θ = t g ( θ - 1 )

Passo 2

Para derivarmos g , devemos lembrar da regra da cadeia, que nos diz o seguinte:

g θ ' = d g d u × d u d θ

u = θ ⇒ d u d θ = 1 2 . θ - 1 2  

g u = s e c   u ⇒ d g d u = sec ⁡ u .   t g   u

Substituindo na equação, teremos:

g θ ' = sec ⁡ u .   t g   u . 1 2 . θ - 1 2

∴ g θ ' =   1 2 . θ - 1 2 . sec ⁡   θ . t g   ( θ )

Passo 3

Para derivarmos h ' , também deveremos utilizar a regra da cadeia. Sendo assim, teremos:

h θ ' = d h d u × d u d θ

u = θ - 1 ⇒   d u d θ = - θ - 2

h u = t g   u ⇒   d h d u = s e c 2 u

Substituindo os valores na regra da cadeia, teremos:

h θ ' = s e c 2 u . ( - θ - 2 )

∴ h θ ' =   - θ - 2 . s e c 2 ( θ - 1 )

Passo 4

Agora que já encontramos g ' e h ' , só precisamos substituir lá na regra do produto para descobrirmos r ' . Sendo assim, o resultado será:

r ' = g θ ' . h θ + g θ . ( h θ ) '

r ' = 1 2 . θ - 1 2 . sec ⁡   θ . t g   θ . t g θ - 1 + s e c θ . ( - θ - 2 . s e c 2 θ - 1 )

r ' = 1 2 . θ - 1 2 . sec ⁡   θ . t g   θ . t g θ - 1 - s e c θ . θ - 2 . s e c 2 θ - 1  

∴ r ' = sec ⁡   θ . t g   θ . t g ( 1 θ ) 2 θ - s e c θ . s e c 2 1 θ θ ²

Resposta

r ' = sec ⁡   θ . t g   θ . t g ( 1 θ ) 2 θ - s e c θ . s e c 2 1 θ θ ²

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Ache f ' ( x ) se f x = ( x + 1 - | x | ) 2 .
Use a regra da cadeia para provar que (a) a derivada de uma função par é uma função ímpar e (b) a derivada de uma função ímpar é uma função par, desde que essas derivadas existam.