Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 43

Nos Exercícios 23-50, determine as derivadas das funções.

43. f θ = ( s e n   θ 1 + cos ⁡ θ ) ²

Passo 1

Antes de começarmos a analisar essa derivada, vamos reescrever a função de uma forma mais bonitinha pra facilitar nossos cálculos, ok? Fazendo isso, teremos:

f θ = s e n 2 ( θ ) ( 1 + cos ⁡ θ ) ²

Então galera, para conseguimos resolver essa derivada devemos lembrar de uma regrinha bastante importante quando se trata da derivada de uma divisão, beleza? A regra é a do quociente, que nos diz o seguinte:

f θ =   g θ h θ

∴ f θ ' = g θ ' . h θ - g θ . ( h θ ) ' [ h θ ] ²

g θ = s e n ² ( θ )

h θ = ( 1 + cos ⁡ θ ) ²

Passo 2

Primeiro deveremos encontrar g ' , certo? Para derivarmos g , devemos utilizar a regra da cadeia, assim como discutido na seção 6 do George. Sendo assim, teremos:

g θ ' = 2 . s e n   θ . ( s e n   θ ) '

∴ g θ ' = 2 . s e n   θ . cos ⁡ θ

Passo 3

Agora para encontrarmos h ' , a regra que devemos utilizar é a mesma, que é a regra da cadeia. Como se trata de uma função mais chatinha, vamos utilizar a regra a risca, se liga:

h θ ' =   d h d u × d u d θ

u = ( 1 + cos ⁡ θ ) ⇒ d u d θ = - s e n   θ

h u = u 2 ⇒ d h d u = 2 . u

Substituindo na regra da cadeia, teremos:

h θ ' = 2 . u . ( - s e n   θ )  

∴ h θ ' = - 2 . ( 1 + cos ⁡ θ ) . s e n   θ

Passo 4

Agora que já descobrimos g ' e h ' , basta substituirmos na regra do quociente para descobrirmos f ' , beleza? Fazendo isso, teremos:

f θ ' = g θ ' . h θ - g θ . h θ ' h θ 2

f θ ' = 2 . s e n   θ . cos ⁡ θ . ( 1 + cos ⁡ θ ) ² - s e n 2 θ . [ - 2 . ( 1 + cos ⁡ θ ) . s e n   θ ] ( 1 + cos ⁡ θ ) 4

Simplificando os termos semelhantes, teremos:

∴ f θ ' = 2 . s e n ³ ( θ ) ( 1 + cos ⁡ θ ) ³ + 2 . s e n   θ . cos ⁡ θ ( 1 + cos ⁡ θ ) ²

Resposta

f θ ' = 2 . s e n ³ ( θ ) ( 1 + cos ⁡ θ ) ³ + 2 . s e n   θ . cos ⁡ θ ( 1 + co s ⁡ θ ) ²

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios de 1 a 8, x e y são funções de uma terceira variável t. 7 )S e x + y = 5 e d y d t = 3 ,a c h e d x d t q u a n d ox = 1 .
Nos Exercícios de 1 a 8, x e y são funções de uma terceira variável t. 5 )S es e n ²x + cos ² ⁡ y = 5 4 e d x d t = - 1 ,a c h e d x d t e m( 2 π 3 , 3 π 4 ) . ² ²
Nos Exercícios de 1 a 8, x e y são funções de uma terceira variável t. 3 )S ex y = 20 e d y d t = 10 ,a c h e d x d t q u a n d ox = 2 .
Nos Exercícios de 1 a 8, x e y são funções de uma terceira variável t. 2 )S e x y = 10 e d x d t = - 5 ,a c h e d y d t .
Nos Exercícios de 1 a 8, x e y são funções de uma terceira variável t. 4 )S e2 . s e nx + 4 . cos ⁡ y = 3 e d y d t = 3 ,a c h e d x d t e m( π 6 , π 3 ) .