Nos Exercícios 51-70, determine dy/dt

65. y = raiz(1 + cos(t^2))

Passo 1

Então galeris, para conseguirmos resolver essa derivada precisaremos relembrar da regra da cadeia, beleza? A regra da cadeia nos diz que se queremos derivar uma função composta, teremos:

d y d t = d y d u × d u d t

No qual, nesse nosso caso:

u = 1 + cos ⁡ t 2

y =   u 1 2

Passo 2

Agora que já estabelecemos todos os dados que iremos precisar, vamos determinar d y d u e, em seguida, d u d t .

d y d u = 1 2 . u - 1 2

d u d t = ( 1 + cos ⁡ t 2 ) ' ⇒ d u d t = cos ⁡ t 2 '

Para derivarmos essa função cosseno, também teremos que usar a regra da cadeia, isto é, vamos derivar a função mais externa que, nesse caso, é a função cosseno e multiplicar pela derivada da função mais interna, que é t ² , ok? Fazendo isso, teremos:

∴ d u d t = - s e n t 2 . 2 t ⇒ d u d t = - 2 . s e n t 2 . t

Passo 3

Agora que temos todas as derivadas necessárias, basta substituirmos na regra da cadeia que citamos lá em cima, se liga:

d y d t = d y d u × d u d t

d y d t = 1 2 . u - 1 2 . ( - 2 t . s e n   t 2 )

∴ d y d t = - t . s e n   t 2 1 + cos ⁡ t 2

Resposta

d y d t = - t . s e n   t 2 1 + cos ⁡ t 2

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