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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 65

Nos Exercícios 51-70, determine (d y)/(d t) .

65. y = sqrt(1 + c o s ( t^2 ))

Passo 1

Então galeris, para conseguirmos resolver essa derivada precisaremos relembrar da regra da cadeia, beleza? A regra da cadeia nos diz que se queremos derivar uma função composta, teremos:

(d y)/(d t) = (d y)/(d u) xx (d u)/(d t)

No qual, nesse nosso caso:

u = 1 + cos (t^2)

y = u^((1)/(2))

Passo 2

Agora que já estabelecemos todos os dados que iremos precisar, vamos determinar (d y)/(d u) e, em seguida, (d u)/(d t) .

(d y)/(d u) = (1)/(2) . u^(- (1)/(2))

(d u)/(d t) = ( 1 + cos (t^2) )^' => (d u)/(d t) = cos (t^2) '

Para derivarmos essa função cosseno, também teremos que usar a regra da cadeia, isto é, vamos derivar a função mais externa que, nesse caso, é a função cosseno e multiplicar pela derivada da função mais interna, que é t ² , ok? Fazendo isso, teremos:

:. (d u)/(d t) = - s e n (t^2) . 2 t => (d u)/(d t) = - 2 . s e n (t^2) . t

Passo 3

Agora que temos todas as derivadas necessárias, basta substituirmos na regra da cadeia que citamos lá em cima, se liga:

(d y)/(d t) = (d y)/(d u) xx (d u)/(d t)

(d y)/(d t) = (1)/(2) . u^(- (1)/(2)) . ( - 2 t . s e n (t^2) )

:. (d y)/(d t) = (- t . s e n (t^2))/(sqrt(1 + cos (t^2)))

Resposta

(d y)/(d t) = (- t . s e n (t^2))/(sqrt(1 + cos (t^2)))

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