Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.6 - Ex. 6
Obtenha gráficos de que revelem todos os aspectos importantes da curva. Em particular, você deve usar os gráficos de e para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
Passo 1
E aí, galera! Tudo certo? O enunciado nos dá a função
e pede para estimarmos alguns aspectos importantes da curva dessa função: onde ela cresce, onde ela decresce, os picos e os vales (valores extremos), onde ela se curva pra cima, pra baixo, e onde ela muda de curvatura.
Dessa forma, precisamos utilizar os gráficos de e para encontrar as estimativas para:
- Os intervalos de crescimento e decrescimento.
- Os valores extremos.
- Os intervalos de concavidade.
- Os pontos de inflexão.
🤔 Mas porque será que precisamos dos gráficos das derivadas de para isso? Então, é o seguinte:
- Os intervalos onde a função cresce e decresce são determinados pelos sinais da primeira derivada
- Os pontos onde a função atinge máximos e mínimos são raízes de
- Os intervalos de concavidade são determinados pelos sinais da segunda derivada
- Os pontos de inflexão, onde a curva muda de concavidade, são raízes de
O que precisamos fazer para resolver a questão é:
- Encontrar as funções e e obter os seus gráficos, assim como o gráfico da função
- Estimar os pontos críticos, valores extremos e os intervalos de decrescimento e crescimento usando os gráficos de e de
- Estimar os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade usando os gráficos de e de
Não vamos dar tanta atenção para a construção dos gráficos, combinado? Nosso objetivo é usá-los, junto com conceitos de cálculo, para estimar algumas características importantes da função .
Você pode utilizar calculadoras gráficas para a obtenção dos gráficos 🙌!
Vamos começar 💪?
Passo 2
Para facilitar o nosso trabalho, vamos calcular as derivadas necessárias usando as três regras de derivação abaixo:
- As derivadas das funções seno e cosseno são
- A derivada da tangente é
- A regra da cadeia
- Os pontos onde se anula são aproximadamente
- Olhando para o gráfico de , vemos que
- e são máximos locais.
- e são mínimos locais.
- Olhando para o gráfico de percebemos que nos intervalos , e a função é positiva. Logo, nesses intervalos a função é crescente, como pode ser visto no seu gráfico.
- Olhando para o gráfico de , nos intervalos e a função é negativa. Logo, nesses intervalos a função é decrescente, como pode ser visto no seu gráfico.
Mais especificamente, vamos precisar da seguinte igualdade:
Passo 3
Começamos encontrando a derivada de
Logo,
Agora, para encontrarmos a segunda derivada , derivamos que acabamos de encontrar.
Assim (pela regra da cadeia):
Substituindo pela derivada da tangente a direita,
ou seja,
Assim:
Passo 4
Vamos plotar os gráficos de e e fazer umas análises iniciais.
⚠️Fique atento quando fizer os seus gráficos!
Como o domínio da função não foi dado, talvez você precise escolher intervalos de e (janelas) mais adequados para conseguir visualizar melhor algumas características das curvas.
Saca só:
Sabemos que a função é periódica, com período (já que as funções tangente e cosseno são periódicas com períodos ), então só precisamos fazer o gráfico em um intervalo de tamanho .
Para facilitar as análises, apresentamos o gráfico de com o eixo numerado de duas formas distintas.
Note as assíntotas verticais nos pontos
Essas assíntotas verticais vão permanecer para e .
Passo 6
Com base no gráfico de , podemos estimar os pontos críticos, valores extremos e os intervalos de decrescimento e crescimento.
Quer ver como?
Mais precisamente, se anula nos pontos
para todo inteiro. Esses são os pontos críticos da função
Lembrando que temos que somar . Logo os intervalos onde é crescente são
Não esquecendo os , ficamos que é decrescente nos intervalos
Lembre-se que existem pontos de indeterminação de nesses intervalos!
Passo 3
Com base no gráfico de , podemos estimar os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
Vamos lá!
- Os pontos onde aparenta ser zero são aproximadamente:
Esses são os candidatos a ponto de inflexão da função
- Lembrando das assíntotas e olhando para o gráfico de , percebemos que nos intervalos e a função é negativa.
- Lembrando das assíntotas e olhando para o gráfico de , percebemos que nos intervalos e a função é positiva.
- Como nos pontos e a segunda derivada muda de sinal, então estes pontos são pontos de inflexão da função , conforme pode ser visto no seu gráfico.
Logo, nesses intervalos a concavidade de é voltada para baixo, conforme pode ser visto no seu gráfico.
Logo, nesse intervalo a concavidade de é voltada para cima, conforme pode ser visto no seu gráfico.
Resposta
As respostas foram dadas nos passos anteriores.