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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 50

Nos Exercícios 23-50, determine as derivadas das funções.

50. y =   θ 3 . e - 2 θ . cos ⁡ 5 θ

Passo 1

Então galera, essa função aí demanda um pouquinho mais de trabalho, mas nada impossível, claro! Primeiramente, vamos reescrever essa função y de outra forma, se liga:

y =   θ 3 . cos ⁡ 5 θ e 2 θ

Ok! Agora que temos uma função y com uma cara melhor, temos que para derivarmos-a precisaremos de duas regras: a primeira é a regra do produto (para derivarmos o numerador) e a segunda é a regra do quociente (para derivarmos a função inteira). A regra do produto nos diz que:

r = f ( θ ) . g ( θ )

∴ r ' = f θ ' . g θ + f θ . ( g θ ) '

A regra do quociente nos diz que:

y =   r ( θ ) h ( θ )

∴ y ' = r θ ' . h θ - r θ . ( h θ ) ' [ h θ ] ²

Sabendo dessas duas coisas, sem dúvida alguma conseguiremos descobrir y ' . Bora lá!

Passo 2

Primeiro devemos descobrir quanto vale r ' , certo? Uma vez que descobrimos isso, nosso problema estará praticamente finalizado. Sabendo que:

f θ =   θ ³

g θ = cos ⁡ 5 θ

Temos que:

f θ ' = 3 θ ²

g θ ' = - 5 . s e n   5 θ

Colocando na regra do produto, teremos:

r ' = f θ ' . g θ + f θ . ( g θ ) '

∴ r ' = 3 θ ² . cos ⁡ 5 θ - 5 θ 3 . s e n   5 θ

Passo 3

Agora que temos o resultado da regra do produto, só precisamos encontrar ( e 2 θ ) ' agora para depois jogarmos na regra do quociente e finalizarmos a questão, beleza?

h θ ' = ( e 2 θ ) ' = 2 . e 2 θ

Jogando na regra do quociente, teremos:

y ' = r θ ' . h θ - r θ . ( h θ ) ' [ h θ ] ²

y ' =   3 θ 2 . cos ⁡ 5 θ - 5 θ 3 . s e n   5 θ . ( e 2 θ ) - θ 3 . cos ⁡ 5 θ . 2 . e 2 θ ( e 2 θ ) ²

Simplificando o que for possível, teremos:

y ' =   3 θ 2 . cos ⁡ 5 θ - 5 θ 3 . s e n   5 θ - 2 . θ 3 . cos ⁡ 5 θ e 2 θ

Resposta

y ' = 3 θ 2 . cos ⁡ 5 θ - 5 θ 3 . s e n   5 θ - 2 . θ 3 . cos ⁡ 5 θ e 2 θ  

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