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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 80

Nos Exercícios 79-84, determine o valor de ( f ∘ g ) ' no valor fornecido de x.

80. f u = 1 - 1 u ,         u = g x = 1 1 - x ,         x = - 1

Passo 1

Então pessoal, para derivarmos uma função composta, isto é, uma função que tem como domínio a imagem de outra função, precisaremos aplicar a regra da cadeia, que nos diz o seguinte:

f ∘ g ' x = d y d x = d y d u × d u d x

Utilizaremos, conforme discutido na seção 6 do George, a notação de Leibniz, que facilita bastante o entendimento da derivada, beleza? Nessa questão, temos que:

y = 1 - 1 u

u = 1 1 - x

Passo 2

Descobrindo as derivadas, teremos:

d y d u = - 1 . - 1 . u - 2

∴ d y d u = 1 u ²

d u d x = - 1 . 1 - x - 2 . ( 1 - x ) '

∴ d u d x = 1 ( 1 - x ) ²

Passo 3

Agora que descobrimos as derivadas, basta substituirmos na regra da cadeia, se liga:

d y d x = 1 u ² . 1 ( 1 - x ) ²

d y d x = 1 1 1 - x 2 . 1 ( 1 - x ) ²

∴ d y d x = ( 1 - x ) ² ( 1 - x ) ² = 1

Substituindo o ponto, teremos:

f ∘ g ' - 1 = 1

Resposta

f ∘ g ' - 1 = 1

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