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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 81

Nos Exercícios 79-84, determine o valor de ( f ∘ g ) ' no valor fornecido de x.

81. f u = c o t g π u 10 ,         u = 5 x ,         x = 1

Passo 1

Então pessoal, para derivarmos uma função composta, isto é, uma função que tem como domínio a imagem de outra função, precisaremos aplicar a regra da cadeia, que nos diz o seguinte:

f ∘ g ' x = d y d x = d y d u × d u d x

Utilizaremos, conforme discutido na seção 6 do George, a notação de Leibniz, que facilita bastante o entendimento da derivada, beleza? Nessa questão, temos que:

y = c o t g π u 10  

u = 5 x

Passo 2

Lembrando que a derivada de c o t g   x = - c o s s e c ² x , teremos:

d y d u = - c o s s e c 2 π u 10 . π 10

∴ d y d u = - π 10 . c o s s e c 2 π u 10

d u d x = 5 . 1 2 . x - 1 2

∴ d u d x = 5 2 . x

Passo 3

Agora que descobrimos as derivadas, basta substituirmos lá na regra da cadeia que citamos no passo 1, se liga:

d y d x = - π 10 . c o s s e c 2 π u 10 . 5 2 . x

∴ d y d x = - π 10 . c o s s e c 2 π 5 x 10 . 5 2 . x

Substituindo o ponto que foi dado, que é x = 1 , teremos:

d y d x = - π 10 . 5 2 = - π 4

∴ f ∘ g ' 1 = - π 4

Resposta

f ∘ g ' 1 = - π 4

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