Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.1 - Ex. 20
Derive a função.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão é bem direta ao ponto. Ela dá pra gente a função:
E pede pra gente encontrar sua derivada.
A ideai para resolver questões dessas é analisar qual o tipo de função nós temos, e assim saber quais as regras de derivação devemos usar. Então faremos isso aqui. Ok?
Observe que essa função é formada por dois termos que podem ser escritos na forma:
Claro, teremos que fazer algumas mudanças na forma que eles estão escritos, mas encontrando esse formato, poderemos usar a regra básica de derivação, de potências com expoente real, que diz o seguinte:
Se for um número real qualquer, então
Essa regra ganha um aplelido carinho de regra do tombo, já que o expoente leva um “tombo” e cai multiplicando na frente da potência que perde uma unidade no expoente.
Bom, então o plano é o seguinte: Vamos mexer um pouco na forma como nossa função está escrita para depois poder usar essa regra.
Vem comigo que te ajudo no passo a passo.
Passo 2
Para reescrever nossa função usaremos a regra de conversão de raiz para expoente fracionário. Se você não está lembrando, a regra é essa aqui:
Assim, nossa função se torna:
Repara que o segundo termo fica com expoente negativo, já que ele estava no denominador e agora subiu pra o numerador.
Com essa modificação na forma de escrever a função será possível aplicar a regra de derivação que queríamos. Então vamos a ela.
Passo 3
Lembrando que:
Aplicando a cada termo da nossa função, teremos:
Que resolvendo fica:
Agora vamos descer essas potências com expoentes negativos
E reescrevendo em forma de raiz, teremos:
E prontinho, nossa derivada foi encontrada.