Derive a função

f(x) = raiz(ln(x), 5)

Passo 1

Fala galerinha... nessa questão queremos encontrar a derivada da função

f ( x ) = ln ⁡ x 5

Para isso, iremos utilizar técnicas de derivação como a Regra de derivação da função logarítmica natural

ln ⁡ x ' = 1 x

A regra da derivada da potência de x , que é:

x n ' = n x n - 1

e a Regra da cadeia, pois aqui o que temos é uma derivação de uma função composta, e nessas situações se faz necessário o uso desta regra.

d d x f g x = d d g x f g x ∙ d d x g x

Passo 2

Vamos então utilizar a regra da cadeia:

d d x f g x = d d g x f g x ∙ d d x g x

Para o nosso caso:

d f g x d x = d ln ⁡ x 5 d l n x ∙ d d x ln ⁡ x

= d ln ⁡ x 5 d l n x ∙ 1 x

Agora, vamos fazer o seguinte, para facilitar as coisas.

u = ln ⁡ x

Assim, temos que encontrar a seguinte derivada:

d u 5 d u

Podemos dizer que:

u 5 = u 1 / 5

Dessa forma, quando derivarmos, usando a regra da potência, teremos:

d u 5 d u = d u 1 / 5 d u = 1 5 u 1 5 - 1

= 1 5 u - 4 / 5

= 1 5 u 4 5

Portanto,

d ln ⁡ x 5 d l n x = 1 5 ln 4 ⁡ x 5

E substituindo, temos por fim que,

d f g x d x = d ln ⁡ x 5 d l n x ∙ 1 x

= 1 5 ln 4 ⁡ x 5 ∙ 1 x

Resposta

y ' = 1 x ∙ 1 5 x ln 4 5 ⁡ x

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