Derive a função:

V(x) = (2 * x^3 + 3) / (x^4 - 2 * x)

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão é bem direta ao ponto. Ela dá pra gente a função:

V x = 2 x 3 + 3 x 4 - 2 x

E pede pra gente derivá-la.

A ideai para resolver questões dessas, é analisar qual o tipo de função nós temos, e assim saber quais as regras de derivação devemos usar. Então faremos isso aqui. Ok?

Observe que essa função é formada por uma multiplicação entre duas funções. Podemos pensar dessa forma, sendo:

f t = 2 x 3 + 3

g t = x 4 - 2 x

Assim, nossa função se torna:

y = 2 x 3 + 3 x 4 - 2 x

y = f x ⋅ g x

Sendo assim, a regra que deve ser usada para fazer essa derivação é a regra do produto.

Quando temos um produto entre duas funções a regra é essa aqui:

f ⋅ g ' = f ' g + f g '

Agora que sabemos que regra usar, basta fazer a substituição de cada item na fórmula.

Então, partiu aplicar essa regra juntinho comigo.

Passo 2

Estão pensando em nossa função como:

y = 2 x 3 + 3 x 4 - 2 x

y = f x ⋅ g x

E sua derivada será dada por:

y ' = f ⋅ g ' = f ' g + f g '

Então já vamos fazer as derivadas aqui de uma vez pra depois só substituir na fórmula de derivação, beleza?

Como:

f x = 2 x 3 + 3

Sua derivada seguirá a regra de derivação de potência na forma: d d x x n = n x n - 1 . Assim:

f ' x = 6 x

E para a função

g x = x 4 - 2 x

Seguiremos a mesma regra

g ' x = 4 x 3 - 2

Agora que já temos tudo que precisamos, basta substituir na fórmula.

Passo 3

Substituindo tudo, ficamos com:

y ' = f ⋅ g ' = f ' g + f g '

y ' = 6 x 2 ⋅ x 4 - 2 x + 2 x 3 + 3 ⋅ 4 x 3 - 2

Vamos arrumar tudo fazendo as multiplicações necessárias:

y ' = 6 x 6 - 12 x 3 + 8 x 6 - 4 x 3 + 12 x 3 - 6

e reduzindo os termos semelhantes, teremos:

y ' = 14 x 6 - 4 x 3 - 6

Prontinho!! Essa é a nossa resposta!

Resposta

V ' x = 14 x 6 - 4 x 3 - 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine as derivadas das funções nos Exercícios 17-40.w = 1 / z^(1,4) + pi / raiz(z)
Determine as derivadas das funções nos Exercícios 17-40.w = r * e^(-r)
Determine as derivadas das funções nos Exercícios 17-40.r = e^θ * (1 / θ^2 + θ^(-π/2))
Suponha que u e v sejam funções de x deriváveis de x e que.u(1) = 2, u'(1) = 0, v(1) = 5, v'(1) = -1 .Detetermine os valores das derivadas a seguir em x = 0 .d / dx (u v) d / dx ( u / v ) d / dx (v /
Determine a primeira e a segunda derivadas das funções nos Exercícios 45-52.y = (x^3 + 7) / x