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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.2 - Ex. 25

Derive a função:

f ( x ) = (x)/(x + (c)/(x))

Passo 1

Bom galera, precisamos derivar a função. Mas neste caso a função é composta por uma divisão, então o que fazemos?

Usamos a Regra do Quociente!

Então:

f ' ( x ) = ((x + (c)/(x)) . (d)/(d x) (x) - x . (d)/(d x) (x + (c)/(x)))/((x + (c)/(x)) ²)

Agora vamos lembrar a Derivada da Soma:

f ' ( x ) = ((x + (c)/(x)) . (d)/(d x) (x) - x [(d)/(d x) x + (d)/(d x) (c)/(x)])/((x + (c)/(x)) ²)

A constante pode sair de dentro da derivada. Se lembram?

f ' ( x ) = ((x + (c)/(x)) . (d)/(d x) (x) - x [(d)/(d x) x + c (d)/(d x) x^(- 1)])/((x + (c)/(x)) ²)

Agora vamos lembrar da Regra da Potência:

f ' ( x ) = ((x + (c)/(x)) . 1 - x [1 - c x^(- 2)])/((x + (c)/(x)) ²)

Reorganizando a equação:

f ' ( x ) = ((x ² + c)/(x) - x + (c)/(x))/(((x ² + c)/(x)) ²)

f ' ( x ) = ((x ² + c - x^2 + c)/(x))/(((x^2 + c)^2)/(x^2))

f ' ( x ) = ((2 c)/(x))/(((x^2 + c)^2)/(x^2))

Então:

f^' (x) = (2 c)/(x) . (x^2)/((x^2 + c)^2)

f^' (x) = (2 c x)/((x^2 + c)^2)

Resposta

f^' (x) = (2 c x)/((x^2 + c)^2)

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determiney ' (a) pela aplicação da regra do produto e (b) pela multiplicação dos fatores para produzir uma soma de termos mais simples para derivar. y = 3 - x 2 x 3 - x + 1
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determiney ' (a) pela aplicação da regra do produto e (b) pela multiplicação dos fatores para produzir uma soma de termos mais simples para derivar. y=( 1 + x 2 ) ( x 3 / 4 - x - 3 )