44. Suponha que f(4) = 2, g(4) = 5, f'(4) = 6 , e g' (4) = -3 . Encontre h'^(4) .

(d) h(x) = g(x) / (f(x) + g(x))

Passo 1

Fala aí, pessoal. Tudo tranquilo com vocês?

Bom, essa questão disse pra gente que

f 4 = 2 ,   g 4 = 5 ,   f ' 4 = 6

g ' 4 = - 3

E pediu pra gente encontrar h ' 4 , para:

h x = g x f x + g x

ou seja, queremos a derivada da função h ( x ) que foi definida acima de acordo com os valores de f ( x ) e g ( x ) .

Bom, então como queremos a derivada da função em um certo ponto, a primeira coisa que fazemos é achar a derivada e depois aplicar no ponto:

Assim, podemos dizer que:

h ' x = d d x g x f x + g x

Vem comigo que te mostro como fazer tudo isso no passo a passo.

Passo 2

Como queremos a derivada em um certo ponto, a primeira coisa que fazemos é achar a derivada e depois aplicar no ponto:

h ' x = d d x g x f x + g x

E como nossa função formada por uma fração entre duas outras funções precisaremos usar a regra do quociente, onde:

h ' x = f ' x ⋅ f x + g x - f x + g x ' ⋅ f x f x + g x 2

Como queremos a derivada em um certo ponto, a primeira coisa que fazemos é achar a derivada e depois aplicar no ponto.

Lembrando que a derivada da soma é a soma das derivadas:

Nós queremos o valor de h ' 4 , então vamos substituir x por 4 :

h ' 4 = g ' 4 ⋅ f 4 + g 4 - f ' 4 + g ' 4 ⋅ g 4 f 4 + g 4 2

Nós conhecemos esses valores. Então, substituindo, encontraremos:

h ' 4 = - 3 ⋅ 2 + 5 - 6 + - 3 ⋅ 5 2 + 5 2

E resolvendo ficamos com:

h ' 4 = - 21 - 15 49

Então

h ' 4 = - 36 49

E prontinho. Encontramos nossa solução.

Resposta

h ' 4 = - 36 49

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