Derive a função.

f(x) = log_10(1 + cos(x))

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos a derivada da função dada.

Para resolvermos, precisamos utilizar a regra da cadeia, que é dada por:

Vamos abordar essa resolução de forma mais detalhada, passo a passo, para garantir uma compreensão completa.

Dada a função f ( x ) = log 10 ⁡ ( 1 + cos ⁡ x )

Queremos encontrar sua derivada em relação a x

Primeiro, vamos calcular a derivada da função interna 1 + cos ⁡ ( x ) , que é - sin ⁡ ( x ) .

Isso vem da regra da derivada do cosseno.

Passo 2

Agora, aplicamos a regra da cadeia para derivar a função externa log 10 ⁡ ( u ) onde u = 1 + cos ⁡ ( x ) .

A regra da cadeia diz que a derivada de log 10 ⁡ ( u ) é 1 u ln ⁡ 10   multiplicada pela derivada de u em relação a x .

Então, a derivada de log 10 ⁡ 1 + cos ⁡ x em relação a x é:

d d x log 10 ⁡ 1 + cos ⁡ x = 1 1 + cos ⁡ x ⋅ d d x 1 + cos ⁡ x

Substituímos d d x 1 + cos ⁡ x por - sin ⁡ x e simplificamos:

d d x log 10 ⁡ 1 + cos ⁡ x = 1 1 + cos ⁡ x ⋅ d d x - sin ⁡ x

Passo 3

Podemos simplificar ainda mais, multiplicando o numerador e o denominador por 1 - cos ⁡ x   para eliminar a soma de cosenos:

d d x log 10 ⁡ 1 + cos ⁡ x = - sin ⁡ x 1 + cos ⁡ x  

Esta é a derivada da função f x =   log 10 ⁡ 1 + cos ⁡ x em relação a x .

Resposta

f ' x = - sin ⁡ x 1 + cos ⁡ x

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