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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.10 - Ex. 14

Encontre a diferencial:

(a) y = ln ⁡ s e n θ

(b) y = e x 1 - e x

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. A questão nos pede para encontrar a diferencial das funções:

y = ln ⁡ s e n θ

y = e x 1 - e x

Para isso, vamos usar que a diferencial é dada por:

d y = f ' x d x  

Dessa forma, precisamos encontrar a derivada dessas funções.

Vamos precisar aqui saber a derivada das seguintes funções:

Logaritmo natural

ln ⁡ x ' = 1 x

Seno

s e n x ' = c o s ⁡ ( x )

Exponencial

e x ' = e x

Constante

c ' = 0

E também vamos precisar saber usar a regra da cadeia para funções comopostas:

d f g x d x = d f g x d g x ⋅ d g x d x

Ou seja você vai derivando de fora para dentro...

E também usaremos a regra do quociente:

f g ' x = f ' x g x - f x g ' x g 2 x

Bora lá?

Passo 2

Vamos derivar a seguite função:

y = ln ⁡ s e n θ

Vamos usar a regra da cadeia:

y ' = d l n s e n θ d s e n θ ⋅ d s e n θ d θ

y ' = 1 s e n θ cos ⁡ θ

E o cosseno dividido pelo seno é o inverso da tangente que é a cotangente.

y ' = c o t g θ

Portanto, podemos dizer que:

d y = c o t g θ d θ

Passo 3

Agora, vamos derivar:

y = e x 1 - e x

Usando a regra do produto:

y ' = e x ' 1 - e x - e x 1 - e x ' 1 - e x 2

Derivando...

y ' = e x 1 - e x - e x ( 0 - e x ) 1 - e x 2

y ' = e x - e 2 x + e 2 x 1 - e x 2

∴

y ' = e x 1 - e x 2

Portanto, podemos dizer que:

d y = e x 1 - e x 2 d x

Resposta

(a)

d y = e x 1 - e x 2 d x

(b)

d y = e x 1 - e x 2 d x

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