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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.2 - Ex. 18

Derive as funções. Depois, determine uma equação para a tangente no ponto indicado no gráfico da função.

w   =   g ( z )   =   1   +   4   -   z     ,       ( z , w )   =   ( 3,2 )

Passo 1

Primeiro, devemos saber que definimos a derivada de uma função como sendo:

d d z g ( z )   =   lim h → 0 ⁡   g ( z   +   h )   -   g ( z ) h

Passo 2

Resolvendo a derivada:

d d z g ( z )   =   lim h → 0 ⁡     ( 1   +   4   -   z +   h ) -   ( 1   +   4   -   z ) h

d d z g ( z )   =   lim h → 0 ⁡     (   4   -   z +   h ) -   (   4   -   z ) h

Para desenvolver a expressão, é necessário lembrar que ( a + b ) ( a - b )   =   a 2   -   b 2

d d z g z = lim h → 0 ⁡ 4 - z + h - 4 - z h ∙ 4 - z + h + 4 - z 4 - z + h + 4 - z

d d z g z   =     lim h → 0 ⁡   4   -   z +   h 2 - 4   -   z 2 h [   (   4   -   z +   h ) +   (   4   -   z ) ]

d d z g z   =     lim h → 0 ⁡   4   -   z +   h   - ( 4   -   z ) h [   (   4   -   z +   h ) +   (   4   -   z ) ]

d d z g z   =     lim h → 0 ⁡   h h [   (   4   -   z +   h ) +   (   4   -   z ) ]

d d z g z   =     lim h → 0 ⁡ 4 - z + h + 4 - z

d d z g z   =     lim h → 0 ⁡ 4 - z + 0 + 4 - z

d d z g z   = 2 4 - z  

Passo 3

Para encontrar a equação da reta tangente, devemos lembrar que a derivada da função é o coeficiente angular da reta tangente. Logo, podemos escrever a equação da seguinte forma:

w   -   w '   =   d d z g ( z ' )   ∙   ( z   -   z ' )

Passo 4

Sabendo que w '   =   2 e que z '   =   3

w   -   2   =   d d z g ( 3 )   ∙   ( z   -   3 )

w   -   2   = 2 4 - 3 ∙ ( z   -   3 )

w - 2 = 2 1 ∙ ( z - 3 )

w   -   2   = 2 ∙   ( z   -   3 )

w = 2 z - 6 + 2

w = 2 z - 4

Resposta

A reta tangente no ponto ( 3,2 ) pode ser escrita como:

w = 2 z - 4

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