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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.3 - Ex. 2

Seja a > 0 , a != 1 . Mostre que

underset(h -> 0)(lim) (a^h - 1)/(h) = ln a

Passo 1

Aqui vou usar um truque sujo: vou usaressa propriedade das funções exponenciais e logarítmicas:

A^B = e^(l n A^B)

Sendo assim, substituindo a^h por e^(l n ( a^h )) temos:

underset(h -> 0)(lim) (a^h - 1)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (e^(ln (a^h)) - 1)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (e^(h . ln (a)) - 1)/(h)

Passo 2

Agora, seguindo de forma semelhante a demonstração do exemplo 3 do livro texto, vou fazer a seguinte substituição:

u = e^(h . ln (a)) - 1

E trabalhando um pouco essa expressão teremos:

e^(h . ln (a)) = u + 1

Agora tirando o logaritmo natural dos dois lados;

h . ln a = l n ( u + 1 )

E isolando h temos:

h = (ln (u + 1))/(l n ( a ))

Certo?

Passo 3

Agora substituindo h e a^h no argumento do limite temos:

(a^h - 1)/(h) = (u)/((ln (u + 1))/(l n ( a ))) = (u ln (a))/(l n ( u + 1 ))

E dividindo em cima e embaixo por u temos (e usando a propriedade dos logarítmos logo na sequência):

(u ln (a))/(l n ( u + 1 )) = ((u)/(u) ln (a))/((1)/(u) l n ( u + 1 )) = (ln (a))/(ln (u + 1)^(1 // u))

Passo 4

Ah! E lembrando que se h -> 0 , temos que u -> 0 também, podemos substituir no nosso limite:

underset(h -> 0)(lim) (a^h - 1)/(h) = underset(u -> 0)(lim) (ln (a))/(ln (u + 1)^(1 // u))

Opa!! O que encontramos aqui no denominador??

O limite fundamental! Então teremos:

underset(u -> 0)(lim) (ln (a))/(l n ( e )) = l n ( a )

Bem como foi pedido no exercício! Certo?

Vamos pra próxima?

Resposta

underset(u -> 0)(lim) (ln (a))/(l n ( e )) = l n ( a )

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