Seja a0 , a != 1 . Mostre que underset(h - 0)(lim) (a^h - 1)/(h) = ln a

underset(u - 0)(lim) (ln (a))/(l n ( e )) = l n ( a )

Enunciado

Aqui vou usar um truque sujo: vou usaressa propriedade das funções exponenciais e logarítmicas:

Sendo assim, substituindo por temos:

Agora, seguindo de forma semelhante a demonstração do exemplo do livro texto, vou fazer a seguinte substituição:

E trabalhando um pouco essa expressão teremos:

Agora tirando o logaritmo natural dos dois lados;

E isolando temos:

Certo?

Agora substituindo e no argumento do limite temos:

E dividindo em cima e embaixo por temos (e usando a propriedade dos logarítmos logo na sequência):

Ah! E lembrando que se , temos que também, podemos substituir no nosso limite:

Opa!! O que encontramos aqui no denominador??

O limite fundamental! Então teremos:

Bem como foi pedido no exercício! Certo?

Vamos pra próxima?