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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.3 - Ex. 13

Derive:

13) y = (t . sen t)/(1 + t)

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá:

y = (t . sen t)/(1 + t)

E pede pra a gente derivar! Como essa função é um quociente, vamos usar a regra do quociente:

f^' (x) = ((g (x))/(h (x)))^' = (g ' (x) h (x) - h ' (x) g ( x ))/(h (x)^2)

Podemos dizer que:

g (t) = t . sen t

h (t) = 1 + t

Repara que em g ( x ) temos uma multiplicação, então vamos usar a regra do produto pra resolvê-la:

g^' (x) = (m (x) n (x))^' = m ' (x) n (x) + n ' (x) m ( x )

Bora colocar a mão na massa?

Passo 2

Antes de substituirmos na regra do quociente, vamos calcular as derivadas de g^' ( x ) e f^' ( x ) separadamente, vamos começar com g ( t ) , e aqui teremos que utilizar a regra do produto:

g (t) = t . sen t

Aplicando a regra do produto:

g^' (x) = m ' (x) n (x) + n ' (x) m ( x )

g^' (t) = (t)^' (sin t) + (sin t)^' (t)

A derivada de seno é tabelada:

(d sin x)/(d x) = cos x

Resolvendo:

g^' (t) = (1) (sin t) + (cos t) (t)

g^' (t) = sin t + t cos t

Passo 3

Agora vamos derivar h ( t ) :

h (t) = 1 + t

h ' (t) = 1

Passo 4

Usando a regra do quociente:

f^' (t) = (g ' (x) h (x) - h ' (x) g ( x ))/(h (x)^2)

f^' (t) = ((sin t + t cos t) (1 + t) - (1) (t . sen t))/((1 + t)^2)

Simplificando:

f^' (t) = (sin t + t cos t + t sin t + t^2 cos t - t . sen t)/((1 + t)^2)

f^' (t) = ((t^2 + t) cos t + sin t)/((1 + t)^2)

Prontinho!

Resposta

f^' (t) = ((t^2 + t) cos t + sin t)/((1 + t)^2)

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