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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.2 - Ex. 15

Derive:

15) y = (t ² + 2)/(t^4 - 3 t^2 + 1)

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá:

y = (t ² + 2)/(t^4 - 3 t^2 + 1)

E pede pra a gente derivar! Para isso vamos usar a regra do produto:

f^' (x) = ((g (x))/(h (x)))^' = (g ' (x) h (x) - h ' (x) g ( x ))/(h (x)^2)

Bora colocar a mão na massa?

Passo 2

Primeiro precisamos “repartir” a nossa função em duas partes que se dividam:

y = (t ² + 2)/(t^4 - 3 t^2 + 1)

Nesse caso temos:

g (t) = t^2 + 2

h (t) = t^4 - 3 t^2 + 1

Vamos derivar cada uma separadamente:

g (t) = t^2 + 2

g^' (t) = 2 t

Agora h ( t ) :

h (t) = t^4 - 3 t^2 + 1

h^' (t) = 4 t^3 - 6 t

Agora substituímos na regra:

f^' (x) = (g ' (x) h (x) - h ' (x) g ( x ))/(h (x)^2)

f^' (t) = ((2 t) (t^4 - 3 t^2 + 1) - (4 t^3 - 6 t) (t^2 + 2))/((t^4 - 3 t^2 + 1)^2)

Simplificando:

f^' (t) = ((2 t^5 - 6 t^3 + 2 t) - (4 t^5 + 8 t^3 - 6 t^3 - 12 t))/((t^4 - 3 t^2 + 1)^2)

Temos então que:

f^' (t) = (- 2 t^5 - 8 t^3 + 14 t)/((t^4 - 3 t^2 + 1)^2)

Prontinho!!

Resposta

f^' (t) = (- 2 t^5 - 8 t^3 + 14 t)/((t^4 - 3 t^2 + 1)^2)

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