Derive:

15) y = (t^2 + 2) / (t^4 - 3t^2 + 1)

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá:

y = t ² + 2 t 4 - 3 t 2 + 1

E pede pra a gente derivar! Para isso vamos usar a regra do produto:

f ' x = g x h x ' = g ' x h x - h ' x g ( x ) h x 2

Bora colocar a mão na massa?

Passo 2

Primeiro precisamos “repartir” a nossa função em duas partes que se dividam:

y = t ² + 2 t 4 - 3 t 2 + 1

Nesse caso temos:

g t = t 2 + 2

h t = t 4 - 3 t 2 + 1

Vamos derivar cada uma separadamente:

g t = t 2 + 2

g ' t = 2 t

Agora h ( t ) :

h t = t 4 - 3 t 2 + 1

h ' t = 4 t 3 - 6 t

Agora substituímos na regra:

f ' x = g ' x h x - h ' x g ( x ) h x 2

f ' t = 2 t t 4 - 3 t 2 + 1 - 4 t 3 - 6 t t 2 + 2 t 4 - 3 t 2 + 1 2

Simplificando:

f ' t = 2 t 5 - 6 t 3 + 2 t - 4 t 5 + 8 t 3 - 6 t 3 - 12 t t 4 - 3 t 2 + 1 2

Temos então que:

f ' t = - 2 t 5 - 8 t 3 + 14 t t 4 - 3 t 2 + 1 2

Prontinho!!

Resposta

f ' t = - 2 t 5 - 8 t 3 + 14 t t 4 - 3 t 2 + 1 2

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