Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ 0 1 ln ⁡ x x d x

Passo 1

A questão pede você tentar calcular a integral imprópria e assim verificar se ela converge ou não.

Para essa integral, o problema está em x = 0 , de modo que devemos primeiro calcular

∫ t 1 ln ⁡ x x d x = ∫ t 1 x - 1 / 2 ln ⁡ x   d x

Passo 2

Para calcular essa integral, vamos usar partes e fazer u = ln ⁡ x e d v = x - 1 / 2 d x . Assim, temos que d u = d x / x e v = 2 x . Portanto,

∫ t 1 ln ⁡ x x d x = 2 x ln ⁡ x t 1 - 2 ∫ t 1 x x d x = 2 t ln ⁡ t - 4 x t 1 = 2 t   ln ⁡ t + 2 - 4

Precisamos ver o que acontece com t   ln ⁡ t + 2 quando t → 0 + .

Passo 3

Fazendo t → 0 + :

lim t → 0 + ⁡ t   ln ⁡ t + 2 = lim t → 0 + ⁡ ln ⁡ t + 2 t - 1 / 2

Como temos uma indeterminação do tipo infinito sobre infinito, podemos aplicar L’Hospital:

lim t → 0 + ⁡ ln ⁡ t + 2 t - 1 / 2 = lim t → 0 + ⁡ 1 t - t - 3 2 2 = lim t → 0 + ⁡ - 2 t = 0

Assim,

lim t → 0 + ⁡ ∫ t 1 ln ⁡ x x d x = 2 ⋅ 0 - 4 = - 4

Portanto, a integral converge.

Resposta

- 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados