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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.8 - Ex. 40

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ 0 1 ln ⁡ x x d x

Passo 1

A questão pede você tentar calcular a integral imprópria e assim verificar se ela converge ou não.

Para essa integral, o problema está em x = 0 , de modo que devemos primeiro calcular

∫ t 1 ln ⁡ x x d x = ∫ t 1 x - 1 / 2 ln ⁡ x   d x

Passo 2

Para calcular essa integral, vamos usar partes e fazer u = ln ⁡ x e d v = x - 1 / 2 d x . Assim, temos que d u = d x / x e v = 2 x . Portanto,

∫ t 1 ln ⁡ x x d x = 2 x ln ⁡ x t 1 - 2 ∫ t 1 x x d x = 2 t ln ⁡ t - 4 x t 1 = 2 t   ln ⁡ t + 2 - 4

Precisamos ver o que acontece com t   ln ⁡ t + 2 quando t → 0 + .

Passo 3

Fazendo t → 0 + :

lim t → 0 + ⁡ t   ln ⁡ t + 2 = lim t → 0 + ⁡ ln ⁡ t + 2 t - 1 / 2

Como temos uma indeterminação do tipo infinito sobre infinito, podemos aplicar L’Hospital:

lim t → 0 + ⁡ ln ⁡ t + 2 t - 1 / 2 = lim t → 0 + ⁡ 1 t - t - 3 2 2 = lim t → 0 + ⁡ - 2 t = 0

Assim,

lim t → 0 + ⁡ ∫ t 1 ln ⁡ x x d x = 2 ⋅ 0 - 4 = - 4

Portanto, a integral converge.

Resposta

- 4

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Seja F(x) = ∫ 0 x f t d to n d ef t ={ 2 t s e t≥1 t 2 s e t1 Verifique que F'(x) = f(x) em todo x em que f for contínua.F é derivável em x = 1?
1. Esboce o gráfico da função F dada por d) int_1^x f (t) d t ondef (t) = {[[0 s e t = 1],[1 s e t1]])
Seja F(x) = ∫ 0 x f t d to n d ef t ={ 2 s e t=1 1 s e t≠1 Verifique que F'(x) = f(x) em todo x em que f for contínua.F é derivável em x = 1? Em caso afirmativo, calcule F'(1) e compare com f(1).
Esboce o gráfico da função F dada pore) F (x) = int_0^x f (t) d t ondef (t) = {[[t s e - 2 = t = 0],[e^(- t) s e t0]])
Seja F (x) = int_0^x f (t) d t ondef (t) = {_(2 s e t = 1)^(t s e t != 1) Esboce o gráfico de F Calcule F ' ( x )