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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.2 - Ex. 17

Derive:

17) y = e^p ( p + p sqrt(p) )

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá:

y = e^p ( p + p sqrt(p) )

E pede pra a gente derivar! Para isso vamos usar a regra do produto:

f^' (x) = (g (x) h (x))^' = h (x) g^' (x) + g (x) h ' ( x )

Bora colocar a mão na massa?

Passo 2

Primeiro precisamos “dividir” a nossa função em duas partes que se multiplicam:

f (p) = e^p ( p + p sqrt(p) )

Nesse caso temos:

g (p) = e^p

h (p) = p + p sqrt(p) = p + p xx p^((1)/(2)) = p + p^((3)/(2))

Vamos derivar cada uma separadamente:

g (p) = e^p

g^' (p) = e^p

Agora h ( z ) :

h (p) = p + p^((3)/(2))

h^' (p) = 1 + (3)/(2) p^((1)/(2))

Agora substituímos na regra:

f^' (x) = (g (x) h (x))^' = h (x) g^' (x) + g (x) h ' ( x )

f^' (p) = (p + p^((3)/(2))) (e^p) + (e^p) (1 + (3)/(2) p^((1)/(2)))

Simplificando:

f^' (p) = e^p (p^((3)/(2)) + p + (3)/(2) p^((1)/(2)) + 1)

Prontinho!!

Resposta

f^' (p) = e^p (p^((3)/(2)) + p + (3)/(2) p^((1)/(2)) + 1)

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