Nos Exercícios 1-18, determine dy/dx .

18. g(x) = (2 - x) \* tg^2(x)

Passo 1

Este é um exercício mais avançadinho. Se você chegou até aqui é porque já avançou pelos passos mais básicos. Vou te mostrar que mesmo com funções mais elaboradas usamos para resolver as mesmas técnicas. Primeiro se queremos derivar uma função que é composta por algumas outras, Temos que usar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia.

d d x g x = d d x 2 - x tg 2 ⁡ x

Regra do produto:

d d x u ⋅ v = v d u d x + u d v d x

Onde u = ( 2 - x ) e v = tg 2 ⁡ x :

d d x g x = ( tg 2 ⁡ x ) d d x 2 - x + ( 2 - x ) d d x ( tg 2 ⁡ x )

d d x g x = ( tg 2 ⁡ x ) ( - 1 ) + ( 2 - x ) d d x ( tg 2 ⁡ x )

Agora para resolver a a derivada da tangente vamos usar Regra da Cadeia

d d x   (   f g x = f ' g x .   g ' ( x )

No nosso caso, nossa função f ( x ) é x 2 e nossa g x = t g   x .   Show!!!

d d x tg 2 ⁡ x = 2   t g ( x )   .   t g ' ( x )

Tangente já é uma integral tabelada, e podemos usar isso a nosso favor. Caso você não tenha essa informação na hora da prova, relaxa é so lembrar que

t g   x = s e n x   c o s x  

E assim aplicar a regra do Quociente para resolver essa derivada. Ou então usar um velho truque de memória. Voce escreve assim :

tan ⁡ x   sec ⁡ x   sec ⁡ x  

Se você quiser derivada de tan ⁡ x     você vai nessa direção

d d x tan ⁡ x   = sec ⁡ x   . sec ⁡   x → s e c 2 x  

Se você quiser a derivada de de secante você vai pelo outro lado ( )

d d x s e c x   = tan ⁡ x   . sec ⁡ x  

É um truque que te economiza uns minutos na hbora da prova. Beleza, vamos em frente!

d d x tg 2 ⁡ x = 2   t g ( x )   .   t g ' ( x )

d d x tg 2 ⁡ x = 2   t g ( x )   . sec 2 ⁡ x

Pronto , vamos jogar no nosso calculo original

d d x g x = ( tg 2 ⁡ x ) ( - 1 ) + ( 2 - x ) d d x ( tg 2 ⁡ x )

d d x g x = ( tg 2 ⁡ x ) ( - 1 ) + ( 2 - x ) 2   t g ( x )   . sec 2 ⁡ x

d d x g x = 2 ( 2 - x ) tg ⁡ x sec 2 ⁡ x - tg 2 ⁡ x

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução 😊

Resposta

d d x g x = 2 ( 2 - x ) tg ⁡ x sec 2 ⁡ x - tg 2 ⁡ x

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