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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.5 - Ex. 18

Nos Exercícios 1-18, determine d y // d x .

18. g ( x ) = (2 - x) tg^2 x

Passo 1

Este é um exercício mais avançadinho. Se você chegou até aqui é porque já avançou pelos passos mais básicos. Vou te mostrar que mesmo com funções mais elaboradas usamos para resolver as mesmas técnicas. Primeiro se queremos derivar uma função que é composta por algumas outras, Temos que usar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia.

(d)/(d x) [g (x)] = (d)/(d x) ((2 - x) tg^2 x)

Regra do produto:

(d)/(d x) (u * v) = v (d u)/(d x) + u (d v)/(d x)

Onde u = ( 2 - x ) e v = tg^2 x :

(d)/(d x) [g (x)] = ( tg^2 x ) (d)/(d x) (2 - x) + ( 2 - x ) (d)/(d x) ( tg^2 x )

(d)/(d x) [g (x)] = ( tg^2 x ) ( - 1 ) + ( 2 - x ) (d)/(d x) ( tg^2 x )

Agora para resolver a a derivada da tangente vamos usar Regra da Cadeia

(d)/(d x) ( f (g (x)) = f^' (g (x)) . g ' ( x )

No nosso caso, nossa função f ( x ) é x^2 e nossa g (x) = t g x . Show!!!

(d)/(d x) (tg^2 x) = 2 t g ( x ) . t g ' ( x )

Tangente já é uma integral tabelada, e podemos usar isso a nosso favor. Caso você não tenha essa informação na hora da prova, relaxa é so lembrar que

t g x = (s e n x)/(c o s x)

E assim aplicar a regra do Quociente para resolver essa derivada. Ou então usar um velho truque de memória. Voce escreve assim :

tan x sec x sec x

Se você quiser derivada de tan x você vai nessa direção ->

(d)/(d x) tan x = sec x . sec x -> s e c^2 x

Se você quiser a derivada de de secante você vai pelo outro lado ( larr )

(d)/(d x) s e c x = tan x . sec x

É um truque que te economiza uns minutos na hbora da prova. Beleza, vamos em frente!

(d)/(d x) (tg^2 x) = 2 t g ( x ) . t g ' ( x )

(d)/(d x) (tg^2 x) = 2 t g ( x ) . sec^2 x

Pronto , vamos jogar no nosso calculo original

(d)/(d x) [g (x)] = ( tg^2 x ) ( - 1 ) + ( 2 - x ) (d)/(d x) ( tg^2 x )

(d)/(d x) [g (x)] = ( tg^2 x ) ( - 1 ) + ( 2 - x ) 2 t g ( x ) . sec^2 x

(d)/(d x) [g (x)] = 2 ( 2 - x ) tg x sec^2 x - tg^2 x

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução 😊

Resposta

(d)/(d x) [g (x)] = 2 ( 2 - x ) tg x sec^2 x - tg^2 x

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