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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.5 - Ex. 16

Nos Exercícios 1-18, determine d y // d x .

16. y = x^2 cos x - 2 x sen x - 2 cos x

Passo 1

(d y)/(d x) = (d)/(d x) (x^2 cos x - 2 x sen x - 2 cos x)

Usando a regra da soma:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) (x^2 cos x) + (d)/(d x) (- 2 x sen x) + (d)/(d x) ( - 2 cos x )

Agora vamo precisar da regra do produto:

(d)/(d x) (u * v) = v (d u)/(d x) + u (d v)/(d x)

A derivada do primeiro termo da soma: u = x^2 e v = co s x :

(d)/(d x) (x^2 co s x)

( co s x ) (d)/(d x) (x^2) + ( x^2 ) (d)/(d x) ( co s x )

Derivada do ( cos x ) é ( - sen x ) :

( co s x ) (2 x) + ( x^2 ) ( - s en x )

A derivada do segundo termo daquela soma é:

(d)/(d x) (- 2 x s en x)

(s en x) (d)/(d x) (- 2 x) + (- 2 x) (d)/(d x) ( s en x )

Derivada do ( sen x ) é ( cos x ) :

(s en x) (- 2) + (- 2 x) ( co s x )

A derivada do terceiro termo da soma é mais tranquila:

(d)/(d x) ( - 2 co s x )

2 s en x

Passo 2

Juntando novamente na equação essas derivadas ai:

(d y)/(d x) = (2 x cos x - x^2 sen x) + ( - 2 sen x - 2 x cos x ) + ( 2 sen x )

(d y)/(d x) = 2 x cos x - x^2 sen x - 2 sen x - 2 x cos x + 2 sen x

(d y)/(d x) = - x^2 sen x

Resposta

(d y)/(d x) = - x^2 sen x

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