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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.6 - Ex. 1e

Calcule o comprimento da curva dada em forma paramétrica

c)   x = e t cos ⁡ t   y = e t sin ⁡ t   0 ≤ t ≤ π

Passo 1

Para calcular o comprimento do gráfico precisamos aplicar a seguinte formula:

d = ∫ b a d x d t 2 + d y d t 2 d t

Vamos calcular as derivas de x e y em t . Só lembrando que aqui vamos usar a regra da cadeia.

x = e t cos ⁡ t → d x d t = e t cos ⁡ t - e t sin ⁡ t

y = e t sin ⁡ t → d y d t = e t sin ⁡ t + e t cos ⁡ t

Aplicando a formula do comprimento:

d = ∫ 0 π e t cos ⁡ t - e t sin ⁡ t 2 + e t sin ⁡ t + e t cos ⁡ t 2 d t

Ta comprida essa integral né? Vamos dar uma mexida nela antes de resolver!

Passo 2

Repara que temos alguns termos ao quadrado,

d = ∫ 0 π e t cos ⁡ t - e t sin ⁡ t 2 + e t sin ⁡ t + e t cos ⁡ t 2 d t

Vamos abrir esses quadrados,

d = ∫ 0 π e 2 t cos 2 ⁡ t - e 2 t sin ⁡ t cos ⁡ t + e 2 t sin 2 ⁡ t + e 2 t cos 2 ⁡ t + 2 e 2 t sin ⁡ t cos ⁡ t + e 2 t sin 2 ⁡ t d t

Simplificando e botando   e 2 t em evidência e colocando para fora da raiz, temos:

d = ∫ 0 π e t 2 sin 2 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t d t

d = ∫ 0 π e t 2 sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t d t

Mas lembra que

sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1

Então temos,

d = ∫ 0 π e t 2 d t

Passo 3

Resolvendo a integral,

d = 2 ∫ 0 π e t d t = 2 e t π 0 = 2 e π - 1

Resposta

d = 2 e π - 1

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