Se 3 x ≤ f x ≤ x 3 + 2 para todo 0 ≤ x ≤ 2 , encontre lim x → 1 ⁡ f ( x )

Passo 1

Fala galerinha! Vou ensinar uma manha pra vocês resolverem essa questão!

Quando o enunciado te der uma função restrita a outras duas, querendo o limite:

3 x ≤ f x ≤ x 3 + 2

Você já vai desconfiar do Teorema do Confronto! Ou como é mais fácil lembrar, Teorema do Sanduiche!

Esse teorema fala que se uma função tá restrita a outras duas:

g ( x ) ≤ f x ≤ h ( x )

E o limite de g e h for igual num ponto:

lim x → c ⁡ g ( x ) = lim x → c ⁡ h ( x ) = L

Então o limite de f também vai ser igual nesse ponto:

lim x → c ⁡ f ( x ) = L

Isso porque se a gente aplicar o limite em toda a inequação original temos:

lim x → c ⁡ g ( x ) ≤ lim x → c ⁡ f ( x ) ≤ lim x → c ⁡ h ( x )

Opa! Interessante!

Isso quer dizer que se acharmos o limite de 3 x e de x 3 + 2 , a gente tem o limite de f x .

Então bora calcular esses limites!

Passo 2

Nós queremos lim x → 1 ⁡ f ( x ) , então vamos calcular os limites pra quando x tende a 1:

lim x → 1 ⁡ 3 x = 3 ⋅ 1 = 3

l i m x → 1   x 3 + 2 = 1 3 + 2 = 3

Opa eles são iguais! O que isso quer dizer?

Se pelo Teorema do Confronto:

lim x → 1 ⁡ 3 x ≤ lim x → 1 ⁡ f ( x ) ≤ lim x → 1 ⁡ x 3 + 2

3 ≤ lim x → 1 ⁡ f ( x ) ≤ 3

Então:

l i m x → 1 f x = 3  

Resposta

3

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