Mostrar que as regiões R_1 e R_2 , têm a mesma área

Passo 1

Como o exercício se trata do cálculo de áreas a primeira coisa que deve nos vir a cabeça é a palavra integral. Pois a integral é a área com sinal.

Lembra como é o cálculo da área entre duas funções ??

Se f x ≥ g x para ⋁ x   ∈ a , b   então A ( á r e a   e n t r e   o s   g r á f i c o s ) é calculada por:

A   =   ∫ a b f x - g x d x

Passo 2

Cálculo de R 1 :

Seja

f x = 59 3 x   e   g x = x

R 1 = ∫ 0 1 59 3 x - x d x =   ∫ 0 1 59 3 x - 3 3 x d x = ∫ 0 1 5 6 3 x d x = 28 3 x 2 ​ 0 → 1 = 28 3    

Cálculo de R 2 :

Seja

f x = - x 2 + 4 x   e   g x = 0

R 2 = ∫ 2 4 - x 2 + 4 x - 0 d x =   ∫ 2 4 - x 2 + 4 x d x = - x 3 3 + 2 x 2   ​ 2 → 4 = 16 3

O cálculo da área para x entre 2 e 4 basta calcularmos a área do triangulo retângulo que é definido por:

S = 1 2 p r o d u t o   d o s   c a t e t o s

S = 1 2 4 × 2 = 4  

R 2 = 16 3 + 1 2 3 = 28 3    

Resposta

R 2 = 16 3 + 12 3 = 28 3    

R 1 = 28 3    

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