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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.10 - Ex. 29

Uma lamina tem a forma do triangulo de vértices (-1,0), (1,1) e (1,-1). Determinar a massa e o centro de massa da lâmina se:

a) Sua densidade de massa é constante

b) Sua densidade no ponto P(x,y) é proporcional à distancia dessa ponto à reta x = - 2 .

Passo 1

Para resolvermos questões relacionadas a centro de massa e momento de inercia precisamos da seguinte teoria :

Consideramos um sistema cuja massa total esta distribuída numa região do plano e não apenas num conjunto formado por um número finito de pontos, os conceitos de massa, centro de massa e momento são definidos por meio de integrais duplas. Por exemplo, consideremos uma lâmina fina tendo a forma de uma região D do plano e assumamos que a massa está distruibuida sobre essa lâmina com densidade (massa por unidade de área ) conhecida, isto é, existe uma função positiva f definida em D tal que f ( x , y ) representa a massa por unidade de área em x , y .

Podemos calcular a massa total de D por

m   =   ∬ D f x , y d x d y

E o centro de massa é dado por ( x ' , y ' )

x ' = ∬ D x f x , y d x d y m

y ' = ∬ D y f x , y d x d y m

Passo 2

a)

nossa região é a seguinte:

Portanto

- 1 ≤ x ≤ 1

- 1 2 x - 1 2 ≤ y ≤ 1 2 x + 1 2

Logo, para o cálculo da massa, temos a densidade constante igual a k

m   =   ∫ - 1 1 ∫ - 1 2 x - 1 2 1 2 x + 1 2 k d y d x = 2 k

Agora vamos calcular o centro de massa:

x ' = ∬ D x f x , y d x d y m = ∫ - 1 1 ∫ - 1 2 x - 1 2 1 2 x + 1 2 x k d y d x m = 2 3 k 2 k = 1 3

y ' = ∬ D y f x , y d x d y m = ∫ - 1 1 ∫ - 1 2 x - 1 2 1 2 x + 1 2 y k d y d x m = 0 2 k = 0

b)

A distancia de ponto a reta é dada pela formula :

d   = a x 0 + b y 0 + c a 2 + b 2

Substituindo os valores:

d   = x + 2 1 2 + 0 2 = x + 2 ,   p o i s   - 1 ≤ x ≤ 1

De modo que a densidade seja

f x , y =   k ( x + 2 )

Logo, para o cálculo da massa, temos a densidade constante igual a k(x+2)

m   =   ∫ - 1 1 ∫ - 1 2 x - 1 2 1 2 x + 1 2 k x + 2 d y d x = 14 3 k

Agora vamos calcular o centro de massa:

x ' = ∬ D x f x , y d x d y m = ∫ - 1 1 ∫ - 1 2 x - 1 2 1 2 x + 1 2 x ( x + 2 ) k d y d x m = 2 k 14 3 k = 3 7

y ' = ∬ D y f x , y d x d y m = ∫ - 1 1 ∫ - 1 2 x - 1 2 1 2 x + 1 2 y ( x + 2 ) k d y d x m = 0 14 3 k = 0

Resposta

a) 2k, 1 3   , 0

b) 14 k 3 3 7 , 0

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