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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 47

Determinar a derivada direcional da função dada:

f x , y , z = 1 - x 2 - y 2 - z 2 , na direção do vetor a → = i → + j → + k →

Passo 1

Para acharmos a derivada na direção do vetor v → vamos usar aquela relação lá da teoria, se liga só:

∂ f ∂ v x , y , z = ∇ f x , y , z ⋅ v v

Então vamos começar encontrando o gradiente de f !

Passo 2

Para acharmos o gradiente, vamos fazer o seguinte:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Substituindo:

∇ f x , y , z = ∂ 1 - x 2 - y 2 - z 2 ∂ x i → + ∂ 1 - x 2 - y 2 - z 2 ∂ y j → + ∂ 1 - x 2 - y 2 - z 2 ∂ z k →

Derivando parcialmente:

∇ f x , y , z = - 2 x 2 1 - x 2 - y 2 - z 2 i → + - 2 y 2 1 - x 2 - y 2 - z 2 j → + - 2 z 2 1 - x 2 - y 2 - z 2 k →

Logo,

∇ f x , y , z = - x 1 - x 2 - y 2 - z 2 i → + - y 1 - x 2 - y 2 - z 2 j → + - z 1 - x 2 - y 2 - z 2 k →

Reescrevendo, temos:

∇ f x , y , z = - x 1 - x 2 - y 2 - z 2 , - y 1 - x 2 - y 2 - z 2 , - z 1 - x 2 - y 2 - z 2

Passo 3

Voltando para formula do Passo 1, temos:

∂ f ∂ a x , y , z = ∇ f x , y , z ⋅ a → a →

Substituindo com o que achamos no Passo anterior e usando que a → = 1 , 1 , 1 :

∂ f ∂ a x , y , z = - x 1 - x 2 - y 2 - z 2 , - y 1 - x 2 - y 2 - z 2 , - z 1 - x 2 - y 2 - z 2 ⋅ 1 , 1 , 1 1 , 1 , 1

Assim,

∂ f ∂ a x , y , z = - x 1 - x 2 - y 2 - z 2 , - y 1 - x 2 - y 2 - z 2 , - z 1 - x 2 - y 2 - z 2 ⋅ 1 , 1 , 1 1 2 + 1 2 + 1 2

Fazendo o produto escalar:

∂ f ∂ a x , y , z = - x 1 - x 2 - y 2 - z 2 + - y 1 - x 2 - y 2 - z 2 + - z 1 - x 2 - y 2 - z 2 3

Portanto,

∂ f ∂ a x , y , z = - x + y + z 3 1 - x 2 - y 2 - z 2

Resposta

∂ f ∂ a x , y , z = - x + y + z 3 1 - x 2 - y 2 - z 2

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