Determinar uma equação vetorial para a reta normal à superfície dada, nos pontos indicados:

x^2 + y^2 = z^2; P_0(3, 4, 5)

Passo 1

Para acharmos uma equação vetorial para a reta normal à superfície vamos começar encontrando a expressão para o gradiente da curva, pois ele é normal a superfície no ponto dado.

x 2 + y 2 = z 2

Passando o z 2 para o lado direito:

x 2 + y 2 - z 2 = 0

Então a função f x , y , z   fica o seguinte:

f x , y , z = x 2 + y 2 - z 2

Passo 2

Para acharmos o gradiente, vamos encontrar o seguinte:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Substituindo:

∇ f x , y , z = ∂ x 2 + y 2 - z 2 ∂ x i → + ∂ x 2 + y 2 - z 2 ∂ y j → + ∂ x 2 + y 2 - z 2 ∂ z k →

Derivando parcialmente, temos:

∇ f x , y , z = 2 x   i → + 2 y   j → - 2 z   k →

Passo 3

No ponto 3 , 4 , 5 :

∇ f 3,4 , 5 = 2 × 3   i → + 2 × 4   j → - 2 × 5   k →

Portanto,

∇ f 3,4 , 5 = 6 i → + 8 j → - 10 k →

Para finalizarmos, vamos encontrar a equação da reta normal. Vem comigo!

r : 3,4 , 5 + t   ∇ f 3,4 , 5

Isto é,

r : 3 i → + 4 j → + 5   k → + t 6 i → + 8 j → - 10 k →

Então a equação vetorial da reta normal fica o seguinte:

r : 3 + 6 t i → + 4 + 8 t j → + 5 - 10 t k →

Resposta

No ponto 3 , 4 , 5 :

r : 3 + 6 t i → + 4 + 8 t j → + 5 - 10 t k →

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