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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 42b

Calcular as derivadas direcionais das seguintes funções nos pontos e direções indicados:

b) f x , y , z = 4 x 2 - 3 y 2 + z em ( - 1 , 2,3 ) na direção normal exterior à superfície x 2 + y 2 + z 2 = 4 , no ponto P 1,1 2 .

Passo 1

Para acharmos a derivada na direção do vetor v → vamos usar aquela relação lá da teoria, se liga só:

∂ f ∂ v x 0 ,   y 0 = ∇ f x 0 , y 0 ⋅ v v

Mas ele não nos disse diretamente quem é esse vetor, então vamos começar descobrindo-o. Como a direção do vetor é normal a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 4 , no ponto P 1,1 2 , vamos encontrar o gradiente da curva nesse ponto, pois o gradiente é normal a superfície no ponto 😉

Passo 2

Agora vamos encontrar o gradiente da curva. Para isso, vamos fazer o seguinte:

∇ g x , y , z = ∂ g ∂ x i → + ∂ g ∂ y j → + ∂ g ∂ z k →

Substituindo:

∇ g x , y , z = ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 4 ∂ x i → + ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 4 ∂ y j → + ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 4 ∂ z k →

Derivando parcialmente:

∇ g x , y , z = 2 x i → + 2 y j → + 2 z   k →

No ponto 1,1 , 2 :

∇ g 1,1 , 2 = 2 × 1   i → + 2 × 1   j → + 2 × 2   k →

Logo o vetor v fica o seguinte:

v = 2 i → + 2   j → + 2 2   k →

Reescrevendo,

v = 2,2 , 2 2

Passo 3

Como já achamos v , basta acharmos a expressão do gradiente de f .

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Assim,

∇ f x , y , z = ∂ 4 x 2 - 3 y 2 + z ∂ x i → + ∂ 4 x 2 - 3 y 2 + z ∂ y j → + ∂ 4 x 2 - 3 y 2 + z ∂ z k →

Derivando parcialmente:

∇ f x , y , z = 8 x   i → - 6 y   j → + 1   k →

Então no ponto ( - 1 , 2,3 ) , temos o seguinte:

∇ f - 1 , 2,3 = 8 × - 1 i → - 6 × 2   j → + 1   k →

Portanto,

∇ f - 1 , 2,3 = - 8 i → - 12   j → + 1   k →

Reescrevendo:

∇ f - 1 , 2,3 = - 8 ,   - 12 ,   1

Passo 4

Voltando para expressão do Passo 1:

∂ f ∂ v - 1,2 , 3 = ∇ f - 1,2 , 3 ⋅ v v

Substituindo com o que achamos no Passo 2 e 3:

∂ f ∂ v - 1,2 , 3 = - 8 ,   - 12 ,   1 ⋅ 2,2 , 2 2 2,2 , 2 2

Como 2,2 , 2 2 = 2 2 + 2 2 + 2 2 2 :

∂ f ∂ v - 1,2 , 3 = - 8 ,   - 12 ,   1 ⋅ 2,2 , 2 2 2 2 + 2 2 + 2 2 2

Isto é,

∂ f ∂ v - 1,2 , 3 = - 8 ,   - 12 ,   1 ⋅ 2,2 , 2 2 16

Fazendo o produto escalar:

∂ f ∂ v - 1,2 , 3 = - 8 × 2 - 12 × 2 + 1 × 2 2 4

Simplificando:

∂ f ∂ v - 1,2 , 3 = 2 - 2 0 2

Resposta

∂ f ∂ v - 1,2 , 3 = 2 - 20 2

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Determinar a derivada direcional da função dada: f x , y = x 2 + y 2 , na direção da semi-reta y - x = 4 ,x ≥ 0
Determinar a derivada direcional da função dada: f x , y , z = 3 x 2 + 4 y 2 + z , na direção do vetor a → = i → + 2 j → + 2 k →
Determinar a derivada direcional da função dada: f x , y = 4 - x 2 - y 2 , na direção de máximo decrescimento de f .
Determinar a derivada direcional da função dada: f x , y , z = x y + x z + y z , na direção de máximo crescimento de f .
Calcular (del f)/(del v) (x_0 , y_0) na direção vec v = 2 vec i - vec j :f (x , y) = (x + y)/(1 - x) ; (x_0 , y_0) = (0 , (1)/(2))