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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 46

Determinar a derivada direcional da função dada:

f x , y = 4 - x 2 - y 2 , na direção de máximo decrescimento de f .

Passo 1

Para acharmos a derivada na direção do vetor v → vamos usar aquela relação lá da teoria, se liga só:

∂ f ∂ v x , y = ∇ f x , y ⋅ v v

Como ele não deu diretamente que é o vetor v , temos que encontra-lo. No enunciado ele nos diz que v possui a direção de máximo decrescimento de f , isto é, a direção oposta a do vetor gradiente. Então vamos começar encontrando o gradiente da função.

Passo 2

Para acharmos o gradiente, vamos fazer o seguinte:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j →

Substituindo:

∇ f x , y = ∂ 4 - x 2 - y 2 ∂ x i → + ∂ 4 - x 2 - y 2 ∂ y j →

Derivando parcialmente:

∇ f x , y = 2 × - x i → + 2 × - y j →

Reescrevendo, temos:

∇ f x , y = - 2 x , - 2 y

Como v possui direção oposta à do gradiente:

v = - ∇ f x , y

Portanto,

v = 2 x , 2 y

Passo 3

Voltando para formula do Passo 1, temos:

∂ f ∂ v x , y = ∇ f x , y ⋅ v → v →

Substituindo com o que achamos no Passo anterior:

∂ f ∂ v x , y = - 2 x , - 2 y ⋅ 2 x , 2 y 2 x , 2 y

Assim,

∂ f ∂ v x , y = - 2 x , - 2 y ⋅ 2 x , 2 y 2 x 2 + 2 y 2

Fazendo o produto escalar:

∂ f ∂ v x , y = - 4 x 2 + 4 y 2 4 x 2 + 4 y 2

Racionalizando, temos:

∂ f ∂ v x , y = - 4 x 2 + 4 y 2

Tirando o 4 da raiz:

∂ f ∂ v x , y = - 2 x 2 + y 2

Resposta

∂ f ∂ v x , y = - 2 x 2 + y 2

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