Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas.

1. y = x^2, y = 4, z = 0 e z = 4

Passo 1

O sólido é delimitado superiormente pelo plano y = 4 e inferiormente por y = x 2 , considerando a rotação num plano x y z temos que a região de integração é dada por:

- 2 ≤ x ≤ 2

0 ≤ z ≤ 4

Passo 2

Assim, temos que o volume é dado por:

V = ∫ 0 4 ∫ - 2 2 ( 4 - x 2 ) d x d z

Passo 3

Integrando para x :

∫ - 2 2 4 - x 2 d x = 4 x - x 3 3

Aplicando os limites:

4 2 + 2 - 1 3 8 + 8 = 16 - 16 3 = 32 3

Passo 4

Integrando para z :

∫ 0 4 32 3 d z = 32 3 z

Aplicando os limites:

32 3 4 - 0 = 128 3

Resposta

128 3   u . v .

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