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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.10 - Ex. 1

Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas.

1 .   y = x 2 ,   y = 4 ,   z = 0 e z = 4

Passo 1

O sólido é delimitado superiormente pelo plano y = 4 e inferiormente por y = x 2 , considerando a rotação num plano x y z temos que a região de integração é dada por:

- 2 ≤ x ≤ 2

0 ≤ z ≤ 4

Passo 2

Assim, temos que o volume é dado por:

V = ∫ 0 4 ∫ - 2 2 ( 4 - x 2 ) d x d z

Passo 3

Integrando para x :

∫ - 2 2 4 - x 2 d x = 4 x - x 3 3

Aplicando os limites:

4 2 + 2 - 1 3 8 + 8 = 16 - 16 3 = 32 3

Passo 4

Integrando para z :

∫ 0 4 32 3 d z = 32 3 z

Aplicando os limites:

32 3 4 - 0 = 128 3

Resposta

128 3   u . v .

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Determine o volume do sólido dado.Abaixo da superfície z = x y e acima do triângulo com vértices ( 1,1 ) , 4,1 e 1,2 .
Determine o volume do sólido dado.Abaixo do plano 3 x + 2 y - z = 0 e acima da região limitada pelas parábolas y = x 2 e x = y 2 .
Determine o volume do sólido dado.Limitada pelo paraboloide z = x 2 + y 2 + 1 e os planos x = 0 , y = 0 , z = 0 e x + y = 2 .
Determine o volume do sólido dado.O tetraedro delimitado pelas coordenadas dos planos e pelo plano 2 x + y + z = 4
Determine o volume do sólido dado.Limitado pelos cilindros x 2 + y 2 = r 2 e y 2 + z 2 = r 2