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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 82

A temperatura em um ponto x , y de uma chapa de metal é dada por T x , y = 60 / ( 1 + x 2 + y 2 ) , onde T é medido em ° C e x , y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto ( 2,1 ) em (a) na direção x e ( b ) na direção y

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais, vamos lá!

A questão nos dá uma função T que descreve a temperatura de uma chapa dependendo da posição x , y dela e pede que encontremos as taxas de variação nas duas direções em uma posição específica.

Mas não se deixe enganar pelo enunciado contextualizado, tudo que a questão quer é que calculemos as derivadas (taxa de variação) parciais em x e em y pra depois substituir o ponto ( 2,1 ) . Sabendo disso o resto é fácil: Para calcular uma derivada parcial em uma variável tratamos as demais como constante e derivamos normal, daí fazemos isso para as duas variáveis e pronto!

Passo 2

A função é

T x , y = 60 1 + x ² + y ²

Temos de obter T x e T y no ponto P ( 2,1 )

T x →   Derivamos a função em relação a x, considerando y um valor constante.

T y →   Derivamos a função em relação a y, considerando x um valor constante.

Encontrando T x , temos:

T x = 60 1 + x 2 + y 2 - 1

De forma que:

T x =   - 60 1 + x 2 + y 2 2 2 x

T x = - 120 x 1 + x 2 + y 2 2

E substituindo o ponto ( 2,1 ) teremos a resposta de (a)

T x ( 2,1 ) = - 120 ⋅ 2 1 + 2 2 + 1 ² 2 = - 240 36 = 6,67   ° C / m

Passo 3

Encontrando T y , temos:

T y = 60 1 + x 2 + y 2 - 1

Mas veja que se nessa função tanto x quanto y poderiam trocar de posição que o resultado seria o mesmo. Daí percebemos que o resultado para T y terá o mesmo formato de de T x

T y = - 120 y 1 + x 2 + y 2 2

E, por fim, substituindo o ponto ( 2,1 ) teremos a resposta de (b)

T y ( 2,1 ) = - 120 ⋅ 1 1 + 2 2 + 1 ² 2 = - 120 36 = 3,33   ° C / m

Resposta

T x ( 2,1 ) = 6,67   ° C / m

T y ( 2,1 ) = 3,33   ° C / m

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Seja f defninda em R 2 , diferenciável em ( 0,0 ) e tal que f t x , t y = t f ( x , y ) para todo t ∈ R e todo x , y ∈ R 2 . Prove que f é linear, isto é, que existem reais a e b tais que f x , y = a
Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f, sendo z = f x , y ea) x = t 2ey = 3 t .
Seja g t = f 3 t , 2 t 2 - 1 . a) Expresse g ' t em termos das derivadas parciais de f.b) Calcule g ' t admitindo ∂ f ∂ x 0 , - 1 = 1 3 .
Admita que, para todo (x , y) . x (del f)/(del x) (x , y) - y (del f)/(del y) (x , y) = 0 . Mostre que g (t) = f (t , (2)/(t)) , t0 , é constante.
Admita que, para todo ( x , y ) ,4 y (del f)/(del x) (x , y) - x (del f)/(del y) (x , y) = 2 . Calculeg^' (t) , sendo g (t) = f (2 c o s t , s e n t) .