A temperatura em um ponto (x, y) de uma chapa de metal é dada por T(x, y) = 60 / (1 + x^2 + y^2) , onde T é medido em e x, y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto (2,1) em (a) na direção x e (b) na direção y

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais, vamos lá!

A questão nos dá uma função T que descreve a temperatura de uma chapa dependendo da posição x , y dela e pede que encontremos as taxas de variação nas duas direções em uma posição específica.

Mas não se deixe enganar pelo enunciado contextualizado, tudo que a questão quer é que calculemos as derivadas (taxa de variação) parciais em x e em y pra depois substituir o ponto ( 2,1 ) . Sabendo disso o resto é fácil: Para calcular uma derivada parcial em uma variável tratamos as demais como constante e derivamos normal, daí fazemos isso para as duas variáveis e pronto!

Passo 2

A função é

T x , y = 60 1 + x ² + y ²

Temos de obter T x e T y no ponto P ( 2,1 )

T x →   Derivamos a função em relação a x, considerando y um valor constante.

T y →   Derivamos a função em relação a y, considerando x um valor constante.

Encontrando T x , temos:

T x = 60 1 + x 2 + y 2 - 1

De forma que:

T x =   - 60 1 + x 2 + y 2 2 2 x

T x = - 120 x 1 + x 2 + y 2 2

E substituindo o ponto ( 2,1 ) teremos a resposta de (a)

T x ( 2,1 ) = - 120 ⋅ 2 1 + 2 2 + 1 ² 2 = - 240 36 = 6,67   ° C / m

Passo 3

Encontrando T y , temos:

T y = 60 1 + x 2 + y 2 - 1

Mas veja que se nessa função tanto x quanto y poderiam trocar de posição que o resultado seria o mesmo. Daí percebemos que o resultado para T y terá o mesmo formato de de T x

T y = - 120 y 1 + x 2 + y 2 2

E, por fim, substituindo o ponto ( 2,1 ) teremos a resposta de (b)

T y ( 2,1 ) = - 120 ⋅ 1 1 + 2 2 + 1 ² 2 = - 120 36 = 3,33   ° C / m

Resposta

T x ( 2,1 ) = 6,67   ° C / m

T y ( 2,1 ) = 3,33   ° C / m

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