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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 34

Utilize as equações 7 para determinar del z // del x e del z // del y .

y z + x ln y = z^2

Passo 1

A questão pede para encontrar as derivadas parciais de z com relação a x e y usando as equações 7. Na seção do livro, foi apresentado que se z for dado implicitamente como função de x e y por meio de uma equação do tipo f (x , y , z) = 0 , então

(del z)/(del x) = - ((del f)/(del x))/((del f)/(del z)) e (del z)/(del y) = - ((del f)/(del y))/((del f)/(del z))

Neste caso, temos

f (x , y , z) = y z + x ln y - z^2 = 0

Passo 2

Tomando as derivadas parciais:

(del f)/(del x) = ln y

(del f)/(del y) = z + (x)/(y)

(del f)/(del z) = y - 2 z

Assim,

(del z)/(del x) = - (ln y)/(y - 2 z) => (del z)/(del x) = (ln y)/(2 z - y)

(del z)/(del y) = - (z + (x)/(y))/(y - 2 z) => (del z)/(del y) = (x + y z)/(y ( 2 z - y ))

Resposta

(del z)/(del x) = (ln y)/(2 z - y)

(del z)/(del y) = (x + y z)/(y ( 2 z - y ))

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