Use a derivação implícita para encontrar ∂z/∂x e ∂z/∂y .

x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 1

Passo 1

Fala ai galerinha. De boa por ai?

O objetivo desta questão é encontrar as derivadas parciais ∂ z / ∂ x e ∂ z / ∂ y ​ da função implícita dada pela equação x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 1 usando a técnica de derivação implícita. Isso envolve tratar z como uma função implícita de x e y , e depois diferenciar a equação dada em relação a x e y separadamente.

Em outra palavras, a função não é expressa explicitamente como y = f ( x ) . Em vez disso, a função é definida por um equação que relaciona duas ou mais variáveis, como F x , y = 0

Para resolver esta questão temos que derivar parcialmente a função de z em relação a x e em relação a y , seu resultado será obtido igualando a zero.

Vamos começar!

Passo 2

Esse aqui é um problema de derivação implícita! Nos foi dado uma relação entre x , y e z que determina implicitamente z como função de x e y , isto é, z = z ( x , y ) . Queremos encontrar as derivadas parciais de z .

Derivando a equação com relação x e mantendo y constante:

2 x + 0 + 3 ⋅ 2 z ⋅ ∂ z ∂ x = 0

Note que eu usei

∂ ∂ x 2 y 2 = 0

Assim, isolando ∂ z ∂ x , temos

6 z ∂ z ∂ x = - 2 x ⇒ ∂ z ∂ x = - x 3 z

Passo 3

Fazendo o mesmo com relação a y :

0 + 4 y + 3 ⋅ 2 z ⋅ ∂ z ∂ y = 0

Portanto, isolando ∂ z ∂ y , temos

∂ z ∂ y = - 2 y 3 z

Resposta

∂ z ∂ x = - x 3 z

∂ z ∂ y = - 2 y 3 z

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