Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 47

Use a derivação implícita para encontrar e .

Passo 1

Fala ai galerinha. De boa por ai?

O objetivo desta questão é encontrar as derivadas parciais e da função implícita dada pela equação usando a técnica de derivação implícita. Isso envolve tratar como uma função implícita de e , e depois diferenciar a equação dada em relação a e separadamente.

Em outra palavras, a função não é expressa explicitamente como . Em vez disso, a função é definida por um equação que relaciona duas ou mais variáveis, como

Para resolver esta questão temos que derivar parcialmente a função de em relação a e em relação a , seu resultado será obtido igualando a zero.

Vamos começar!

Passo 2

Esse aqui é um problema de derivação implícita! Nos foi dado uma relação entre , e que determina implicitamente como função de e , isto é, . Queremos encontrar as derivadas parciais de .

Derivando a equação com relação e mantendo constante:

Note que eu usei

Assim, isolando , temos

Passo 3

Fazendo o mesmo com relação a :

Portanto, isolando , temos

Resposta

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A função diferenciável z = z ( x , y ) é dada implicitamente pela equação f x y , z x λ = 0 ( λ ≠ 0 um real fixo), onde f ( u , v ) é suposta diferenciável e ∂ f ∂ v u , v ≠ 0 . Verifique que x ∂ z ∂

Mostre que cada uma das equações a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável z = y = z ( x , y ) . Expresse ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y em termos de x e y . a )e x + y + z + x y z = 1 b)

Suponha que y = g ( x ) seja diferenciável no intervalo aberto I e da dada implicitamente pela equação f x , y = 0 , onde f ( x , y ) é suposta de classe C 2 . Suponha, ainda, ∂ f ∂ y x , y ≠ 0 em D f

Seja g u , v = f ( x , y ) , onde x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) são dadas implicitamente pelo sistema u = x 2 + y 2 v = x y Suponha x ∂ f ∂ x - y ∂ f ∂ y = 0 .a) Mostre que ∂ y ∂ u = - y x ∂ x ∂ u

Sejam x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) são dadas implicitamente pelo sistema u = x 2 + y 2 v = x y a) Expresse ∂ x ∂ u e ∂ y ∂ u em termos de x e y .b) Determine um par de funções x = x ( u , v ) e y