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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 12

Nos Exercícios 1-22, encontre ∂ƒ/∂x e ∂ƒ/∂y

ƒ ( x , y ) = tg^(- 1) ((y)/(x))

Passo 1

Fala minha galera querida!! Bora fazer umas derivadas parciais,

Primeiro vamos derivar em x,

(del f)/(del x) = (del)/(del x) (tg^(- 1) ((y)/(x)))

Vamos aplicar a regra da cadeia, em que u = y // x ,

= (del)/(del u) ( t g^(- 1) u ) * (del)/(del x) ((y)/(x))

= (1)/(1 + u^2) * (- (y)/(x^2))

= (1)/(1 + ((y)/(x))^2) * (- (y)/(x^2))

(del f)/(del x) = - (y)/(x^2 [1 + ((y)/(x))]^2)

Passo 2

Agora em y,

(del f)/(del y) = (del)/(del y) (tg^(- 1) ((y)/(x)))

Vamos aplicar a regra da cadeia, em que u = y // x ,

= (del)/(del u) ( t g^(- 1) u ) * (del)/(del y) ((y)/(x))

= (1)/(1 + u^2) * ((1)/(x))

= (1)/(1 + ((y)/(x))^2) * ((1)/(x))

= (1)/(x + x * (y^2)/(x^2))

(del f)/(del y) = (x)/(x^2 + y^2)

Bora pro próximo.

Resposta

(del f)/(del x) = - (y)/(x^2 [1 + ((y)/(x))]^2) e (del f)/(del y) = (x)/(x^2 + y^2) .

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