Nos Exercícios 1-22, encontre ∂ƒ/∂x e ∂ƒ/∂y

f(x, y) = tg^(-1)(y / x)

Passo 1

Fala minha galera querida!! Bora fazer umas derivadas parciais,

Primeiro vamos derivar em x,

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x tg - 1 ⁡ y x

Vamos aplicar a regra da cadeia, em que u = y / x ,

= ∂ ∂ u ( t g - 1 u ) ⋅ ∂ ∂ x y x

= 1 1 + u 2 ⋅ - y x 2

= 1 1 + y x 2 ⋅ - y x 2

∂ f ∂ x = - y x 2 1 + y x 2

Passo 2

Agora em y,

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y tg - 1 ⁡ y x

Vamos aplicar a regra da cadeia, em que u = y / x ,

= ∂ ∂ u ( t g - 1 u ) ⋅ ∂ ∂ y y x

= 1 1 + u 2 ⋅ 1 x

= 1 1 + y x 2 ⋅ 1 x

= 1 x + x ⋅ y 2 x 2

∂ f ∂ y = x x 2 + y 2

Bora pro próximo.

Resposta

∂ f ∂ x = - y x 2 1 + y x 2 e ∂ f ∂ y = x x 2 + y 2 .

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