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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 5.10 - Ex. 55

Determinar as dimensões do paralelepípedo de maior volume que pode ser inscrito no tetraedro formado pelos planos coordenados e pelo plano x + 1 3 y + 1 2 z = 1 .

Passo 1

Beleza galera, neste caso nós temos um problema de otimização restrita, ou seja, queremos encontrar o valor máximo para o volume, mas sabendo que o paralelepípedo deve estar inscrito no tetraedro formado pelos planos coordenados e pelo plano x + 1 3 y + 1 2 z = 1 .

Então neste caso a condição será:

s . a .                 x + 1 3 y + 1 2 z = 1

Agora precisamos montar a função a ser minimizada, ok?

Como queremos maximizar o volume, e assumindo que o paralelepípedo tem dimensões x, y e z:

V = x x y z

Então, nós teremos o seguinte problema de otimização:

max ⁡                                                                         x y z

s . a .                           x + 1 3 y + 1 2 z = 1

Passo 2

Colocando na fórmula de Lagrange:

L =   x y z - λ x + 1 3 y + 1 2 z - 1

Derivando L em relação às variáveis a, b e c e igualando as derivadas a zero:

∂ L ∂ x = y z - λ = 0

∂ L ∂ y = x z - λ 3 = 0

∂ L ∂ z = x y - λ 2 = 0

∂ L ∂ λ = - x + 1 3 y + 1 2 z - 1 = 0

Igualando as duas primeiras equações nós achamos:

y = 3 x

Se igualamos a segunda e a terceira achamos:

y = 3 z 2 → z = 2 x

Colocando na última equação:

x + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 = 0

x = 1 3

Achando y e z:

y = 1

z = 2 3

Sendo assim, a dimensão do paralelepípedo é 1 3 ,   1 ,   2 3 .

Tranquilinha?

Resposta

1 3 ,   1 ,   2 3 .

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