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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 33

Determinar uma equação para a reta normal à curva dada, nos pontos indicados.

x - y 2 = - 4 ; P 0 - 3,1

Passo 1

Para acharmos uma reta normal a uma curva num ponto, basta encontrarmos o coeficiente angular da reta e um ponto dessa reta. Para isso, vamos usar que o coeficiente angular da reta tangente é a derivada no ponto. Assim,

x - y 2 = - 4

Derivando,

1 - 2 y y ' = 0

Portanto,

y ' = 1 2 y

Passo 2

Para ponto - 3,1 o coeficiente angular será o seguinte:

m - 3,1 = 1 2 × 1 →   m - 3,1 = 1 2

Mas repare que queremos o coeficiente angular da reta normal. Logo, vamos usar aquela relação lá da geometria analítica:

m t × m n = - 1

Assim,

m n = - 2

Agora é só equacionarmos a reta!

y - y 0 = m x - x 0

Logo,

y - 1 = - 2 × x - - 3  

Simplificando,

y - 1 = - 2 x - 6  

Então a reta normal a curva no ponto - 3,1 será:

r :     y + 2 x + 5 = 0

Resposta

r :     y + 2 x + 5 = 0

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Nos Exercícios 45 e 46, esboce a superfície ƒ(x, y, z) = c juntamente com §ƒ nos pontos dados. y 2 + z 2 = 4 ( 0 ,± 2 ,0 ) ( 2 , 0 , ± 2 )