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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 37

Determinar uma equação vetorial para a reta normal à superfície dada, nos pontos indicados:

x 2 + y 2 + z 2 = 4 ; P 0 1,1 , 2 ,   P 1 1,1 , - 2

Passo 1

Para acharmos uma equação vetorial para a reta normal à superfície vamos começar encontrando a expressão para o gradiente da curva, pois ele é normal a superfície no ponto dado.

x 2 + y 2 + z 2 = 4

Passando tudo para o lado direito:

x 2 + y 2 + z 2 - 4 = 0

Então a função f x , y , z   fica o seguinte:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 4

Passo 2

Para acharmos o gradiente, vamos encontrar o seguinte:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Substituindo:

∇ f x , y , z = ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 4 ∂ x i → + ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 4 ∂ y j → + ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 4 ∂ z k →

Derivando parcialmente, temos:

∇ f x , y , z = 2 x   i → + 2 y   j → + 2 z   k →

Passo 3

No ponto 1,1 , 2 :

∇ f 1,1 , 2 = 2 × 1   i → + 2 × 1   j → + 2 × 2   k →

Portanto,

∇ f 1,1 , 2 = 2 i → + 2 j → + 2 2   k →

Para finalizarmos, vamos encontrar a equação da reta normal. Vem comigo!

r : 1,1 , 2 + t   ∇ f 1,1 , 2

Isto é,

r : 1   i → + 1   j → + 2   k → + t 2 i → + 2 j → + 2 2   k →

Então a equação vetorial da reta normal fica o seguinte:

r : 1 + 2 t i → + 1 + 2 t j → + 2 + 2 2 t   k →

Passo 4

No ponto 1,1 , - 2 :

∇ f 1,1 , - 2 = 2 × 1   i → + 2 × 1   j → + 2 × - 2   k →

Portanto,

∇ f 1,1 , - 2 = 2 i → + 2 j → - 2 2   k →

Para finalizarmos, vamos encontrar a equação da reta normal. Vem comigo!

s : 1,1 , - 2 + t   ∇ f 1,1 , - 2

Isto é,

s : 1   i → + 1   j → - 2   k → + t 2 i → + 2 j → - 2 2   k →

Então a equação vetorial da reta normal fica o seguinte:

s : 1 + 2 t i → + 1 + 2 t j → - 2 + 2 2 t   k →

Resposta

No ponto 1,1 , 2 :

r : 1 + 2 t i → + 1 + 2 t j → + 2 + 2 2 t   k →

No ponto 1,1 , - 2 :

s : 1 + 2 t i → + 1 + 2 t j → - 2 + 2 2 t   k →

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