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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 36

Determinar uma equação vetorial para a reta normal à superfície dada, nos pontos indicados:

z = x 2 + y 2 - 1 ; P 0 1,1 , 1

Passo 1

Para acharmos uma equação vetorial para a reta normal à superfície vamos começar encontrando a expressão para o gradiente da curva, pois ele é normal a superfície no ponto dado.

z = x 2 + y 2 - 1

Passando tudo para o lado direito:

z - x 2 - y 2 + 1 = 0

Então a função f x , y , z   fica o seguinte:

f x , y , z = z - x 2 - y 2 + 1

Passo 2

Para acharmos o gradiente, vamos encontrar o seguinte:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Substituindo:

∇ f x , y , z = ∂ z - x 2 - y 2 + 1 ∂ x i → + ∂ z - x 2 - y 2 + 1 ∂ y j → + ∂ z - x 2 - y 2 + 1 ∂ z k →

Derivando parcialmente, temos:

∇ f x , y , z = - 2 x   i → - 2 y   j → + 1   k →

No ponto 1,1 , 1 , temos o seguinte ponto:

∇ f 1,1 , 1 = - 2 × 1   i → - 2 × 1   j → + 1   k →

Portanto,

∇ f 1,1 , 1 = - 2   i → - 2   j → + 1   k →

Passo 3

Para finalizarmos, vamos encontrar a equação da reta normal. Vem comigo!

r : 1,1 , 1 + t   ∇ f 1,1 , 1

Isto é,

r : 1   i → + 1   j → + 1   k → + t - 2   i → - 2   j → + 1   k →

Então a equação vetorial da reta normal fica o seguinte:

r : 1 - 2 t   i → + 1 - 2 t   j → + 1 + t   k →

Resposta

r : 1 - 2 t   i → + 1 - 2 t   j → + 1 + t   k →

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