Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 44

Determinar a derivada direcional da função dada:

f x , y , z = x y + x z + y z , na direção de máximo crescimento de f .

Passo 1

Para acharmos a derivada na direção do vetor v → vamos usar aquela relação lá da teoria, se liga só:

∂ f ∂ v x , y , z = ∇ f x , y , z ⋅ v v

Como ele não deu diretamente que é o vetor v , temos que encontra-lo. No enunciado ele nos diz que v possui a direção de máximo crescimento de f , isto é, a direção do vetor gradiente. Então vamos começar encontrando o gradiente da função.

Passo 2

Para acharmos o gradiente, vamos fazer o seguinte:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Substituindo:

∇ f x , y , z = ∂ x y + x z + y z ∂ x i → + ∂ x y + x z + y z ∂ y j → + ∂ x y + x z + y z ∂ z k →

Derivando parcialmente:

∇ f x , y , z = ( y + z ) i → + ( x + z ) j → + ( x + y ) k →

Reescrevendo, temos:

∇ f x , y , z = y + z ,   x + z ,   x + y

Passo 3

Voltando para formula do Passo 1, temos:

∂ f ∂ v x , y , z = ∇ f x , y , z ⋅ v → v →

Como v → é o próprio gradiente de f :

∂ f ∂ v x , y , z = ∇ f x , y , z ⋅ ∇ f x , y , z ∇ f x , y , z

Substituindo com o que achamos no Passo anterior:

∂ f ∂ v x , y , z = y + z ,   x + z ,   x + y ⋅ y + z ,   x + z ,   x + y y + z ,   x + z ,   x + y

Assim,

∂ f ∂ v x , y , z = y + z ,   x + z ,   x + y ⋅ y + z ,   x + z ,   x + y y + z 2 + x + z 2 + x + y 2

Fazendo o produto escalar:

∂ f ∂ v x , y , z = y + z 2 + x + z 2 + x + y 2 y + z 2 + x + z 2 + x + y 2

Racionalizando, temos:

∂ f ∂ v x , y , z = y + z 2 + x + z 2 + x + y 2

Resposta

∂ f ∂ v x , y , z = y + z 2 + x + z 2 + x + y 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f x ,y ,z = x 2 + y 2 + z 2 , ( 3 ,6 ,- 2 )