Determinar uma equação vetorial para a reta normal à superfície dada, nos pontos indicados:

x + 1/2*y + 1/3*z = 1; P_0{1,2,-3}

Passo 1

Para acharmos uma equação vetorial para a reta normal à superfície vamos começar encontrando a expressão para o gradiente da curva, pois ele é normal a superfície no ponto dado.

x + 1 2 y + 1 3 z = 1

Passando o 1 para o lado direito:

x + 1 2 y + 1 3 z - 1 = 0

Então a função f x , y , z   fica o seguinte:

f x , y , z = x + 1 2 y + 1 3 z - 1

Passo 2

Para acharmos o gradiente, vamos encontrar o seguinte:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Substituindo:

∇ f x , y , z = ∂ x + 1 2 y + 1 3 z - 1 ∂ x i → + ∂ x + 1 2 y + 1 3 z - 1 ∂ y j → + ∂ x + 1 2 y + 1 3 z - 1 ∂ z k →

Derivando parcialmente, temos:

∇ f x , y , z = 1 i → + 1 2   j → + 1 3   k →

Passo 3

No ponto 1,2 , - 3 :

∇ f 1,2 , - 3 = 1 i → + 1 2   j → + 1 3   k →

Portanto,

∇ f 1,2 , - 3 = 1 i → + 1 2   j → + 1 3   k →

Para finalizarmos, vamos encontrar a equação da reta normal. Vem comigo!

r : 1,2 , - 3 + t ∇ f 1,2 , - 3

Isto é,

r : 1 i → + 2 j → - 3 k → + t 1 i → + 1 2   j → + 1 3   k →

Então a equação vetorial da reta normal fica o seguinte:

r : 1 + t i → + 2 + 1 2 t j → + - 3 + t 3 k →

Resposta

No ponto 1,2 , - 3 :

r : 1 + t i → + 2 + 1 2 t j → + - 3 + t 3 k →

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados