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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 52a

Determinar, se existir, o plano tangente ao gráfico das funções dadas, nos pontos indicados:

a) f x ,   y = 1 - x 2 - y 2 ; P 1 0 ,   0 ,   1   e   P 2 ( 1 2 , 1 2 , 2 2 )

Passo 1

As derivadas parciais de f em relação a x e y são:

∂ f ∂ x = - x 1 - x 2 - y 2

∂ f ∂ y = - y 1 - x 2 - y 2

Assim, no ponto P 1 0 ,   0 ,   1 :

∂ f ∂ x 0 ,   0 = 0   e   ∂ f ∂ y 0 ,   0 = 0

O Plano tangente no ponto P 1 ( 0 ,   0 ,   1 ) é:

z = f x 0 ,   y 0 + ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y ( x 0 ,   y 0 ) ( y - y 0 )

z = 1 + 0 ⋅ x - 0 + 0 ⋅ ( y - 0 )

z = 1

Passo 2

No ponto P 2 1 2 , 1 2 , 2 2 :

∂ f ∂ x 1 2 , 1 2 = - 1 2 1 - 1 2 2 - 1 2 2 = - 2 2

∂ f ∂ y 1 2 , 1 2 = - 1 2 1 - 1 2 2 - 1 2 2 = - 2 2

O Plano tangente no ponto P 2 1 2 , 1 2 , 2 2 é:

z = f x 0 ,   y 0 + ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y ( x 0 ,   y 0 ) ( y - y 0 )

z = 2 2 - 2 2 ⋅ x - 1 2 - 2 2 ⋅ ( y - 1 2 )

2 x + 2 y + 2 z = 2 2

Resposta

z = 1 ;   2 x + 2 y + 2 z = 2 2 .

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