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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 52e

Determinar, se existir, o plano tangente ao gráfico das funções dadas, nos pontos indicados:

e) z = 1 x 2 + y 2 ; P 1 1 ,   1 , 2 2   e   P 2 ( 0 ,   1 ,   1 )

Passo 1

As derivadas parciais de f em relação a x e y são:

∂ z ∂ x = - x x 2 + y 2 x 2 + y 2

∂ z ∂ y = - y x 2 + y 2 x 2 + y 2

Assim, no ponto P 1 1 ,   1 , 2 2 :

∂ z ∂ x 1 ,   1 = - 1 2 2   e   ∂ z ∂ y 1 ,   1 = - 1 2 2

O plano tangente no ponto P 1 1 ,   1 , 2 2 :

z = f x 0 ,   y 0 + ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y ( x 0 ,   y 0 ) ( y - y 0 )

z = 2 2 - 1 2 2 ⋅ x - 1 - 1 2 2 ⋅ ( y - 1 )

2 2 z + x + y = 4

Passo 2

No ponto P 2 0 ,   1 ,   1 :

∂ f ∂ x 0 ,   1 = 0

∂ f ∂ y 0 ,   1 = - 1

O Plano tangente no ponto P 2 0 ,   1 ,   1 é:

z = f x 0 ,   y 0 + ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y ( x 0 ,   y 0 ) ( y - y 0 )

z = 1 + 0 ⋅ x - 0 - 1 ⋅ ( y - 1 )

y + z = 2

Resposta

2 2 z + x + y = 4 ;   y + z = 2 .

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