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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 48a

Usando a definição, verificar que as funções dadas são diferenciáveis em R 2 :

a) f x , y = 2 x 2 - y 2

Passo 1

Temos que as derivadas parciais são:

∂ f ∂ x = 4 x   e ∂ f ∂ y = - 2 y

Pela definição temos:

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ f x , y - f x 0 , y 0 + ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 y - y 0 x - x 0 2 + y - y 0 2

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ 2 x 2 - y 2 - 2 x 0 2 - y 0 2 + 4 x 0 x - x 0 - 2 y 0 y - y 0 x - x 0 2 + y - y 0 2

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ 2 x 2 - y 2 - 2 x 0 2 + y 0 2 - 4 x 0 x + 4 x 0 2 + 2 y 0 y - 2 y 0 2 x - x 0 2 + y - y 0 2

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ 2 x 2 - 2 x 0 2 - 4 x 0 x + 4 x 0 2 - y 2 + y 0 2 + 2 y 0 y - 2 y 0 2 x - x 0 2 + y - y 0 2

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ 2 x - x 0 2 - y - y 0 2 x - x 0 2 + y - y 0 2

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ 2 x - x 0 2 x - x 0 2 + y - y 0 2 - lim x → x 0 y → y 0 ⁡ y - y 0 2 x - x 0 2 + y - y 0 2 = 0

Desse modo, concluímos que f é diferenciável em R 2 .

Resposta

f é diferenciável em R 2

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