Calcular o comprimento da parte da circunferência que está no primeiro quadrante

x = 7 cos ⁡ t 4 y = 7   s e n t 4

Passo 1

O comprimento da circunferência é dado por:

s = ∫ t 0 t 1 x ' t 2 + y ' t 2 d t

Temos que as derivadas de x e y são:

x ' = - 7 4   s e n t 4 ;

y ' = 7 4 cos ⁡ t 4 .

Passo 2

Substituindo as derivadas calculadas na equação de comprimento de circunferência, temos:

s = ∫ 0 2 π - 7 4   s e n t 4 2 + 7 4 cos ⁡ t 4 2 d t = s = ∫ 0 2 π 7 4 2 s e n 2 t 4   + 7 4 2 cos 2 ⁡ t 4   d t

Como:

s e n 2   t + cos 2 ⁡ t = 1

Temos:

s = ∫ 0 2 π 7 4 2 s e n 2 t 4   + 7 4 2 cos 2 ⁡ t 4   d t = ∫ 0 2 π 7 4 2   d t = 7 4 ∫ 0 2 π d t

Passo 3

Integrando:

s = 7 4 ∫ 0 2 π d t = 7 4 ⋅ t

Aplicando os limites:

s = 7 4 ⋅ t = 7 4 ⋅ 2 π - 0 = 7 2 π

Resposta

7 2 π   u . c

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