Estabeleça a integral que dá o comprimento de arco da curva dada.

y = sen(3x), 0 ≤ x ≤ 2π

Passo 1

Por definição, o comprimento de arco é dado pela seguinte integral:

s =   ∫ a b 1 + f ' x 2   d x

Assim, nossos limites de integração pelo enunciado são: a = 0     e     b = 2 π .

A derivada da nossa função é dada por:

y ' = cos ⁡ 3 x   .   3 = 3 cos ⁡ 3 x

Passo 2

Aplicando os valores na integral, temos que:

s = ∫ 0 2 π 1 + 3 cos ⁡ 3 x 2 = ∫ 0 2 π 1 + 9 cos 2 ⁡ 3 x

Resposta

s = ∫ 0 2 π 1 + 9 cos 2 ⁡ 3 x

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