Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.16 - Ex. 4
Determinar o polinômio de Taylor de grau da função no ponto . Usar este polinômio para determinar um valor aproximado para . Fazer uma estimativa para o erro.
Passo 1
O polinômio de Taylor de ordem no ponto é obtido assim:
Além disso, o resto na forma de Lagrange, como a gente viu, fica assim:
A parte mais trabalhosa é essa de ter que calcular todas as derivadas, mas o aluno Responde Aí não tem medo de conta, então bora lá!
Passo 2
Primeiro vamos calcular todas as derivadas: não vou explicar passo a passo, mas com tudo que aprendemos até aqui vai ficar bem mastigadinho, fica tranquilo. Em vez do que ele deu no enunciado, como essa parada é função de , vamos manter o , ok? Não esquece da regra da cadeia! Vamos até a derivada de grau , já que queremos o Taylor de ordem e o resto vai precisar da derivada de grau .
Então o polinômio de Taylor vai ser:
Passo 3
No ponto :
Em , e , então:
Substituindo :
Passo 4
E agora para o resto:
Então o resto vai ser:
Já que vai de até :